Fundamentos de Control Realimentado Clase 27-28 Versión 1 - 2015 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Criterio de Estabilidad de Nyquist Contenido: Aplicación del Criterio de Nyquist a SC Vínculos entre CN, LR y DB Estabilidad y Márgenes de Estabilidad Sistemas con Retardo Puro Método de diseño de un SC en la frecuencia Compensadores PD para cumplir un Ancho de Banda

¿Cómo simplificar el análisis de Estabilidad con DN? Para diseños de SC es más conveniente aplicar la ecuación característica: DG(jw)+1/K=0 o bien =DG(jw)=-1/K en el empleo del DN Con ello, en lugar de representar múltiples curvas, se usa una sola, por ejemplo la de K=1 (una buena elección), o la de K=K*. Plano s Re(s) Im(s) C2 DG=-1/K Plano s Re(s) Im(s) -1 C2 KDG=-1 CN de referencia `con K=1 w=- w>0 w=0+ w=0- w<0 K1 w= K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w=- w= K3 K2 -1 -1 K1 -1 K2 -1 K3 La ganancia más alta, es decir K3, se acerca más que las anteriores a la CN de referencia con K=1 K3>K2>1>K1>0

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Ejemplo 1: CURVA DE NYQUIST KDG=K / (s+1) Plano s Re(s) Im(s)) w<0 DIAGRAMAS DE BODE K /KG(jw)/=/KG(-jw)/ q log10w 90° 135° -135° -90° 0° 45° -45° w<0 w>0 -20dB/dec K K -wc wc w=0 - K w=- w= 0 dB log10w -1 w=0+ Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): w>0 -wc wc Estable para cualquier K !  N=0 Como P=0 Z=0

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Ejemplo 2: KG=K/(s+1)2 ESTABILIDAD PRÁCTICA La estabilidad del lazo de control para sistemas estables KDG de tipo 0, 1 y 2, con o sin retardo puro puede analizarse con la rama I de la Curva de Nyquist solamente Plano s Re(s) Im(s) Magnitud de KG (jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ log10w -40dB/dec w<0 w>0 -1 1 0 dB w<0 w=- Plano s Re(s) Im(s) -1 Estable w=0- w=0 w=0+ -1 w>0 w= para todo K>0 El punto -1 queda a la izquierda de la curva K1 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° -180° 0° w<0 w>0 K2>K1  N=0 Como P=0 Z=0 Estable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(KG) Im(KG)) Ejemplo 3: KDG=K/s2(s+1) Magnitud de KG(jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ N=2 N=1 N=0 log10w w<0 w>0 -40dB/dec -60dB/dec -1 1 w>0 0 dB w=0+ w= -1 w=0 - w=- Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° 270° -270° -180° 0° w<0 w>0 w<0  N=2 Como P=0 Z=2 1 vuelta Reducimos K, pero el SC no sale de la inestabilidad Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(s) Im(s) -1 KG=K/s3(s+1) Ejemplo 4: w=0+ w= w>0 /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -60dB/dec -80dB/dec -1 1 N=1 N=2 N=0 0 dB w=- w=0- w<0 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): 1.5 vueltas q log10w 270° -270° -360° 0° w<0 w>0 360°  N=2 Como P=0 Z=2 Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(s) Im(s) w=0- w<0 w=0+ w=- w>0 -1 w= w=0 KG=K/s4(s+1) Ejemplo 5: /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -80dB/dec -100dB/dec -1 1 Interior de C2 es todo el plano s pues KDG es de Tipo>1 0 dB Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): 2 vueltas q log10w 360° -360° -450° 0° w<0 w>0 450° Otra manera GENERAL de calcular N con radio infinito es:  N=2 Como P=0 Z=2 C1 s jw … f2,3,4,5 w=0- w=0+ w=0 =-f1-f2,3,4,5= -4x(90º)=-360º -90ºx4 0º f1 =-f1-f2,3,4,5=0º =-f1-f2,3,4,5=4x90º=360º Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist para polos complejos Ejemplo 6: KDG=Kwn2/(s2+2zwns+wn2) Plano s Re(s) Im(s) /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -40dB/dec 0 dB w<0 Aumenta  w=- -1 w=0 - w= w=0+ w=wn2 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° w<0 w/>0 -180° 0° 2 w=0- C1 s jw f2 f1 w=0+ w=0 w=wn1 1 w>0  N=0 Como P=0 Z=0 =0o tanto para w=0+, w=0 y w=0+ Estable para cualquier wn, z y K !

Curva de Nyquist vs. Lugar de las Raíces Estudio de 4 casos con múltiples integradores jw s C1 f2,3,4 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 w=0+ -1 jw s w=0+ w=0 - Plano s Re(s) Im(s) C1 C2 f2,3 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w<0 w= -1 jw s - 0.5 C1 C2 f2 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 jw s C1 f2,3,4.5 f1 0 - 0+ K=1 w<0 w=0+ w=0 - w>0 w=- Plano s Re(s) Im(s) w=0 w= KG=K/s (s+1) KG=K/s2(s+1) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w=0 KG=K/s4(s+1) KG=K/s3(s+1)

Curva de Nyquist para Sistemas Inestables Ejemplo 6: Plano s Re(s) Im(s) P=1 KG=K(s+1)/s((s/10)-1) 10 -2 -1 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 20 30 40 -270 -225 -180 -135 -90 w=0+ Im(s) Plano s Re(s) C2 K2 K1 K* C1 w>0 w= w=0+ y  0° f2  -180° a = y - f1 - f2  90° f190° -1/K1 -1/K2 y  0° f2  -180° a = y - f1 - f2  270° f1 -90° w=0 w<0 w=- w=0 -1/K* f1  0° y  0° f2  -180° a = y - f1 - f2  180° w=0 - En este caso de polo inestable y en otro caso de cero inestable, la rama III no puede deter- minarse por DB, pero sí con el análisis de a = yi -  fi w=0 - NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode también es apto para determinar la estabilidad en esta clase de sistemas Estabilidad marginal  N=1 Como P=1 Z=2  N=-1 Como P=1 Z=0 El Lugar de las Raíces es apto en cualquier caso K1 < K* SC inestable K2 > K* SC estable

Verificación con Lugar de las raíces KG=K(s+1)/s((s/10)-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -3 -1 1 3 Plano s K*=1 K<K*=1 K<K*<1 estable marginalmente estable inestable K>K*

Ejercicio 1 de Estabilidad con CN Sea la FTLA del mismo sistema tipo I: KG=K(s+1)/s((s/10)-1) Plano s Re(s) Im(s) w=0+ w=0 - w>0 w<0 w=- w=0 w= C2 1) Trazar la Curva de Nyquist a mano alzada. Además se sabe por Bode que con K=1  |KDG|=1 y =-180º 2) Emplear el método “-1/K” para mostrar al sistema marginalmente estable. ¿Dónde esta ubicado ese K* en la CN? Rta: exactmente donde no se produce ningún encirculamiento (ver indicación en CN) 3) Con la CN decir si el sistema es estable con K=0.8? ? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? -1/K=-1.25 -1/K=-0.5 -1/K*=-1 Rta: K=0.8 -> -1/K=-1.25 Por lo tanto el sistema es inestable y tiene 2 polos inestables: Z=N+P=1+1 4) Con la CN decir si el sistema es estable con K=2? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? Rta: K=2 -> -1/K=-0.5 y Z=N+P=-1+1 Por lo tanto el sistema es estable

Ejercicio 2 de Estabilidad con DB Calcule K=K* para que el sistema de control sea marginalmente estable (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 Se debe subir K al valor: K=K*=33.5 Sea: -200 -100 100 200 10 -3 -2 -1 1 2 3 -270 -225 -180 -135 30,5 dB 30,5 dB = 1030,5/20 = 33,5 Magnitud, dB Fase, o

Curva de Nyquist para Sistemas de Fase No-Mínima Ejemplo 7: KG=K(s-1)/s((s+1) w>0 C2 w= w=- Plano s Re(s) Im(s) w=0+ w=0 - Im(s) Plano s Re(s) C1 a = y - f1 - f2  180° y  180° f1  0° f2  0° w=0+ -1/K1 -1 -1/K2 -1/K3 w=0 w=0 - w<0 Concluimos por el mapeo de =0- a =0+ que  va de 270º a 90º pasando por 180º NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto para determinar la estabilidad con ceros inestables! El Lugar de las Raíces sí, VERIFICAR ambos!  N=1, y como P=0  Z=1 El sistema es inestable para todo K>0 Con K<0 y mayor que un cierto K* negativo, N=2 y por lo tanto Z=2. El sistema de control es inestable y posee un par de polos complejos conjugados en el semiplano derecho. Y si K=K3 es negativo? La curva de Nyquist encierra 2 veces al punto -1/K3

Curva de Nyquist para Sistemas de Fase No-Mínima Ejemplo 7: KG=K(s-1)/s((s+1) NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 Magnitude (dB) -2 -1 1 2 -90 -45 45 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

Sistema de Retardo Puro KG=Ke-sTd Ganancia: /G(jw)/= 1 = 0 dB Fase: q = -wTd 10 -2 -1 1 2 3 -40 -20 20 40 60 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) Plano s Re(s) Im(s) K=2 K=1=K* K=0.5 -1/0.5 -1 -1/2 -wTd La frecuencia sigue creciendo y la fase también proporcionalmente a ella  N= Como P=0 Z=  N=0 Como P=0 Z=0

Sistemas que incluyen Retardo Puro KG=Ke-sTd/(s+1) Ejemplo 8: Ganancia: /KG(jw)/ = 1/sqrt(2+1) Fase: q = -wTd - atan() -20 10 -2 -1 1 2 3 -60 -40 20 40 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) M K2 Plano s Re(s) Im(s) K1 K=1 -20 dB/dec K3 -1/K3 -1/K4 -1/K1 -1/K2 -1  -wTd- atan(w) Td Aumentando Td el punto -1/K4 (o el -1/K2) se encircula mas veces, pues las espiras se juntan al cambiar la fase más rápidamente! El punto -1/K4 cae 3 espiras más adentro, por lo tanto N=3  Con K=1N=0 Como P=0 Z=0  Con K3N=0 Como P=0 Z=0 Con K1N=0 Marginalmente estable Con K2N=2 Como P=0 Z=2

Sistema integrador con Retardo Puro Cálculo de los puntos de cruce de G(jw) con el eje real negativo G(jw)= e -Td s s Sea por ejemplo: (– sen Tdw – j cos Tdw) G(jw)= e -jTdw w = 1 En la frecuencia: Cuando la parte imaginaria se hace 0, existe un cruce. La condición es: w0 = 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… = 0 w cos Tdw G(jw0)= (-1)(1+n) 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… G()=0 En el límite: p -2Td G(jp/2)= Con valores de Td muy grandes, las espiras se abren, desplazando un mayor número de puntos de corte a la izquierda del punto -1/K, y por lo tanto aumentando N 1er. corte ocurre en semieje real negativo: -2Td 3p G(j3p/2)= 3er. corte ocurre en semieje real negativo: 5p G(j3p/2)= -2Td 5to. corte ocurre en semieje real negativo:

Retardo puro en sistemas de control de tipo 1 s(s+1) Gd(jw)= K e -Td s s(s+1) KG(jw)= K Sin Retardo puro: Con retardo puro: Plano s Re(s) Im(s) j -1 Repetimos KG(j) w=0+ w= -1 Plano s Re(s) Im(s) j w=0+ w= -1 Plano s Re(s) Im(s) j w1 |G(jw1)|=|Gd(jw1)| q (w1) |G(jw1)|=|Gd(jw1)| w1 q (w1)+(-Tdw1) Con la misma ganancia K

Márgenes de Estabilidad

Definiciones sobre un Sistema de tipo 1 MG: Margen de Ganancia Plano s Re(s) Im(s) -1 MF: Margen de Fase j El MG y el MF son números reales positivos. Por lo tanto se definen normalmente para sistemas de control estables K>K* w=0+ w= Su aplicación es sobre todo para sistemas KDG de tipo 1 MG K<K* MF Adicionalmente, MG es menor a uno y MF << 90º K* Ambos parámetros reflejan la buena performance al igual que Mp y  en el tiempo. Nuevamente quedan zonas de estabilidad, buena performance e inestabilidad

Otra Definición para sistemas de tipo 1 y 2 Plano s Re(s) Im(s) VM -1 VM: Margen vectorial w=0+ w= w>0 w=0+ VM Mínima distancia entre el punto -1 y una curva de Nyquist que pase a la derecha del punto -1 Es decir, la definición es válida para sistemas de control estables.

Sistemas Condicionalmente Estables MG: Margen de Ganancia MF: Margen de Fase Plano s Re(s) Im(s) (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 Sea: Se sabe por DB que para K=33.5 el sistema es marginalmente estable (y es la 1ra K*) w=0+ w= w>0 MF MG -1 Estos Sistemas de Control con dos K* o más Ganancias críticas, se llaman CONDICIONALMENTE ESTABLES Se entiende que: Con el mismo procedimiento de DB se encuentra la 2da K*  MARG. ESTABLE Si se disminuye K a un valor menor que el 1er K*  MF negativa  INESTABLE Si se aumenta K a un valor mayor que el 2do K*  MF negativa  INESTABLE Si K se encuentra entre las los 2 valores de K*  MF positiva ESTABLE Con K al valor de K*=33.5  MF cero MARG. ESTABLE (Véase el punto -1 que queda a la derecha de la curva recorrida) (Véase ahora que el punto -1 queda a la izquierda de la curva recorrida) (Véase el punto -1 que queda a la derecha de la curva recorrida)

Otro ejemplo de SCE Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 P=0 Diagrama de Bode 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 K=20 dB Otro ejemplo de SCE K=1=0 dB KDG(s)= K(s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 K=-50 dB -144° -276,6° -166° Re(s) -1 Im(s) K=0dB K=20dB Diagrama de Nyquist -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -6 -4 -2 2 4 6 x K1*=0.006 K=-50dB K2*=5.5 Lugar de las raíces Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 estable P=0 estable inestable

Lecturas de los Márgenes de Ganancia y Fase en Diagrama de Bode KDG(s)= 0.7 (s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 Se busca la frecuencia del corte para 0dB y se lee la fase. Si ésta por arriba de -180º, el Sistema de Control es estable Se busca la frecuencia para una fase de -180º y se lee la ganancia y se determina el MG Se toma el menor MG de ambos ya que un aumento de ganancia superior a la primera, causa inestabilidad Se ve que existe otra frecuencia para una fase de -180º. Se determina que este MG es mayor que en el primer caso. Pero si el SCLC trabaja en altas ganancias, deberá prestarse atención a una reducción de la misma Se trazan rectas de ganancia de 0dB y de fase -180º Se determina el punto de corte de la Ganancia a 0dB wc=0.18 MG=15 dB K=-3 dB=0.7 MG=75 dB MF=85° Magnitud de KDG(j) Fase de KDG(j)

Diseño de un Sistema de Control con Especificaciones en Frecuencia (Diagramas de Bode) Método de Diseño I Especificación del Ancho de Banda del Sistema de Control

Método de Diseño I (Ancho de Banda) Especificaciones: Se diseña una compensación dinámica para obtener un Ancho de Banda deseado del sistema de control Solución: A través de una compensación dinámica de ceros, se debe lograr que KDG tenga un grado relativo 1. El módulo del cero más a la izquierda se define con un valor igual al ancho de banda deseado.

Método de Diseño I (Ancho de Banda) Justificación: Si KDG=a/b tiene grado relativo 1, luego KDG/1+KDG= a/(b+a) tiene también un grado relativo 1 Si miramos un sistema de primer orden (grado relativo 1), su Ganancia en Bode cae -3dB en la frecuencia de cruce y su Ancho de Banda es por definición justamente su frecuencia de corte Compensando KDG con ceros para que adquiera un grado relativo 1 como en un sistema de primer orden, su ancho de banda será muy parecido a -3dB en su última frecuencia de corte Si la última frecuencia de corte del KDG está suficientemente lejos de las demás y se define con un valor igual a la frecuencia deseada, luego sólo bastará ajustar la ganancia K para que se logre una magnitud de -3dB justamente en esa frecuencia deseada. Como ambos sistemas tienen los mismos ceros, ambos tendrán la misma última frecuencia de corte, la cual coincide con el ancho de banda deseado para el sistema de control.

Ejemplo 1: Sistema amortiguado Especificaciones y procedimiento: Se especifica BW para el sistema de control final Supongamos que la planta tiene una configuración de ceros y polos como los de la siguiente figura Plano s j  x Compensador PD Planta s=-BW Para compensar su grado relativo de dos, se introduce un cero en la posición s=-BW, así el sistema KDG adquiere grado relativo 1 Se modifica la ganancia K para lograr que KDG(BW) tenga una Magnitud de -3B que es el mismo ancho de banda para el SCLC

Ejemplo 1: Sistema amortiguado (cont.) Se elige el módulo del cero del compensador justo en la frec.del ancho de banda 10 -2 -1 1 2 3 -135 -90 -45 Frecuencia (rad/sec) -60 -40 -20 20 40 60 80 Plano s j  x Planta Con ello KDG/(1+KDG) tendrá aproximadamente el mismo ancho de banda BW Planta sin compensar K se aumenta Compensador PD s= -BW Error aprox.3dB pues n=-1 n=-1 n=-2 n=0 n=-2 n=0 Amplitud Fase Planta compensada |KDG| 32dB=K=40 |KDG/(1+KDG)| 0dB Se agrega el cero Ancho de banda BW Finalmente el diseño queda: KD(s)=40(s/BW+1) KDG/(1+KDG) KDG BW

Ejemplo 2: Sistema subamortiguado Planta: Contémplese un satélite en su modo de giro: G(s)= 1 s2 Especificaciones: Diseñar una compensación dinámica para obtener: 1) un ancho de banda no menor a wBW>0.2 rad/s y 2) un buen amortiguamiento Solución: 1) Nuevamente agregamos un cero con un compensador del tipo PD con su cero en -BW. De esta manera se logra n=-1. 2) Se busca un K tal que el módulo |DG| baje o suba en el diagrama de Bode de amplitudes hasta cortar el 0dB justamente en la frecuencia de quiebre que provee el cero del PD.

Ejemplo 2: Sistema subamortiguado Inconvenienntes del caso: 1) El problema de diseño de sistemas subamortiguados es que el SCLC tiene una respuesta con un pico de resonancia y la frecuencia de quiebre del cero (es decir su frecuencia natural n= c= -1/Td) distará por lo general de BW : es decir: BW >c. Por ello c= -1/Td se elige un poco menor que BW .  En LR el ancho de banda es poco transparente, ya que este se define para una ganancia K=1, y el aumento o disminución de ganancia en las ramas se debe realizar con el parámetro de ellas cuya determinación es compleja por la escala no lineal. 2) Con Diagramas de Bode la relación de amortiguamiento  no es tan transparente como en Lugar de la Raíces, por lo que deberá buscarse un parámetro más adecuado. 4) El Método de Nyquist, por ser un método frecuencial, debería reflejar claramente el ancho de banda e igualmente lo inapropiado de los requisitos basados en  o Mp.

Solución del Ejemplo 2 con el Método de Diseño 1 10 -1 -180 -135 -90 -45 -15 -10 -5 5 15 Amplitud Fase Frecuencia rad/s 20 25 9.45 s2 Gla= s/0.15+1 n=-2 Gla= s2 s/0.15+1 Planta compensada n=-2 n=-1 Salto de -19.5 db=1/9.45 s2 1 G= Planta Glc n=-1 0 db -3 db n=-2 Ancho de banda real BW=0.217 Ancho de banda deseada BW=0.2 BW=0.2 (deseada) Elegimos 1/Td un poco menor que la BW pues sabemos que aparecerá un pico de resonancia en la FTLC que aumenta el Ancho de Banda por sobre el deseado En este punto es dificil evaluar la buena performance del sistema de control debido a que los DB no revelan los valores de  o Mp en forma transparente. Por ello, cambiamos estos parámetros por uno más apropiado que se define como Margen de Fase MF MF=35º =0.15

Respuesta temporal del Ejemplo 2 MF =35º 20 40 60 80 100 120 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tiempo (s) Glc= 0.016 1 + 0.016 s + 0.15 s2 y(t) 34,7% r(t) El sobrepico es alto y eso se debe a un margen de fase bajo. Para cumplir completamente la especificación que se pidió se debe aumentar el MF (por ejemplo a 60º)

wBW>0.2 rad/s Ajuste del MF en el Ejemplo 2 con DB s/0.15+1 10 -1 -180 -135 -90 -45 -15 -10 -5 5 15 Amplitud Fase Frecuencia rad/s 20 25 9.45 s2 Gla= s/0.15+1 1.87 9.45 s2 Gla= s/0.15+1 Glc con FM=35º Glc con FM=58º 0 db 0 db MF=58º MF=35º Ancho de banda MF=58º BW=0.33 Ancho de banda MF=35º BW=0.217 El ancho de banda aumenta, pero no viola la especificación: wBW>0.2 rad/s MF=35º MF=58º =0.15

Respuesta temporal del Ejemplo 2 20 40 60 80 100 120 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tiempo (s) Glc= K 1 + K s + 0.15 s2 y(t) r(t) 34,7% MF =35º 26% MF =58º

DG=(s/BW+1)/s2 c=0.15 BW Ejemplo 2: Sistema subamortiguado (cont.) Estudio del sistema con Diagrama de Nyquist Plano s Re(KG) Im(KG)) w=0+ w=0- DG=(s/BW+1)/s2 0.75 (-3dB) w=- w>0 w<0 w= -1 MF1=35º MF2=58º BW c=0.15 La desventaja que tiene la curva de Nyquist para diseñar es que el parámetro  no está naturalmente disponible en la curva y esto dificulta el diseño. su escala es no-lineal y muy comprimida en altas frecuencias. Amplifico Atenuó

Márgenes de Estabilidad para un SCLA con un integrador y un polo estable (sin cero) w= Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0+ Sea el sistema de lazo abierto de tipo 1: MF El cual, realimentado proporcionalmente nos da un sistema de 2do. orden subamortiguado: c Haciendo: |G(j)|=1 =c MF=180 +  (c) de donde se obtiene la expresión: MF  MF MF Aproximadamente: 100

Diseño de un SC con Márgenes de Estabilidad para SCLA con un integrador y un polo estable Se desea un MF determinado. MF Sobrepico rta al escalón Mp Pico de resonancia Mr Con ello se calcula un z: MF Se procede al empleo de relaciones establecidas para sistemas de 2do orden (sin cero) que ligan a Mp (o Mr) con  Recordar que: Mr=1/2z Mr ~ 50/MF ~ Un MF=38º supone un MP=0.3 (30%) y un Mr=1

Elección de un buen amortiguamiento Se puede emplear la relación “MF-“ para sistemas de 2do. orden con o sin un cero. El resultado es aproximado y conservador para sistemas con cero por el efecto derivativo del mismo que aumenta en general el sobrepico por sobre el esperado. Si el sistema tiene un cero, entonces habrá que modificar la ganancia de KDG para que el valor de MF aumente y así bajar el Mp al valor esperado. De la figura Mp vs. MF notamos que si por ejemplo fijamos un MF, a 45°, eso nos da un Mp  22% y un =MF/100=45/100=0.45. MF Sobrepico rta al escalón Mp Nuevamente si este SCLC posee adicionalmente un cero, el MP puede ser Mayor al indicado. Usualmente las especificaciones de MF imponen valores menores que 50° y hasta 70º para sistemas con un cero de influencia muy significativa, es decir cercana al eje imaginario. 45º 0.22

Respuesta temporal del SCLC del ejemplo 2 20 40 60 80 100 120 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tiempo (s) MF =45º según gráfica MF-Mp y(t) 1 + 0.016 Glc= 0.016 s + 0.15 s2 1 35% 22% r(t) MF =64º y no 45º 1 1 + 0.04 s + 0.15 s2 Glc1= 0.04

Regla general en el Diseño I para la elección del cero en función de  -20 -15 -10 -5 5 10 15 -1 1 -135 -90 -45 45  = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7,0.9 0dB 3dB Dispersión del ancho de banda Sistema de 1er orden c 2c wc 1er orden  wBW 2wc =0.1 c Regla de diseño: Si  se exige chico (Mp>30%), el cero se elige cercano a c=BW /1.5 Si  se exige grande (Mp<30%), el cero se elige cercano a c=BW