GRAFOS HAMILTONIANOA Subtítulo

INTRODUCCIÓN Los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman así en honor de William Rowan Hamilton, inventor de un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro.

Grafos Hamiltonianos Sea G=(V,E) un grafo no dirigido Se llama camino hamiltoniano de G a todo camino P en G que contenga a todos los vértices del grafo. Se llama ciclo hamiltoniano de G a todo ciclo C de G que contenga todos los vértices de G Se dice que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano.

Ejemplo: Observe es siguiente grafo G y diga si tiene camino o ciclo hamiltoniano? Es un grafo hamiltoniano Si G es hamiltoniano tiene camino hamiltoniano

Ejemplo: Observe el siguiente grafo G y diga si tiene camino o ciclo hamiltoniano Camino hamiltoniano No hay camino hamiltoniano Ciclo hamiltoniano No hay ciclo hamiltoniano No es grafo hamiltoniano

Ejercicio. Observe los grafos no dirigidos siguientes y analice si tienen camino hamiltoniano o ciclo hamiltoniano

¿Cómo saber si un grafo G es hamiltoniano? Es una pregunta difícil de contestar. Se conocen condiciones necesarias. Se conocen condiciones suficientes. No existe una caracterización (condición necesaria y suficiente).

Condiciones necesarias Sea G=(V,E) grafo no dirigido G es hamiltoniano entonces ∀𝒗∈𝑽, 𝒈𝒓 𝒗 ≥𝟐

Recordemos lo siguiente: Conversa (Recíproco) A la proposición q→p se llamada la conversa de la proposición p→q. Un condicional y su conversa no son equivalentes. Contrapositiva (Contrareciproco) A la proposición (~q) → (~p) se le llama contrapositiva de la proposición p→q. Una condicional es equivalente a su contrapositiva.

¿Cuándo y cómo hallar ciclos/caminos hamiltonianos? Teorema de Dirac Sea G=(V,E) un grafo no dirigido, simple y con al menos 3 vértices, |V| = n ≥ 3. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que n/2, entonces G es Hamiltoniano. Veamos: Aquí gr(A)=gr(U)=1 ≥ 1=n/2 pero esto no es suficiente. Como vemos no hay ciclo hamiltoniano. Este grafo tiene 3 vértices y vemos que tiene ciclo hamiltoniano y se puede verificar que satisface las hipótesis del Teorema de Dirac

Los siguientes ejemplos muestran como la estimación es bastante precisa 1) 𝒏 𝟐 = 𝟔 𝟐 =3 gr(A)=gr(B)=gr(C)=gr(U)=gr(V)=gr(E)=3 ≥ 𝒏 𝟐 = 𝟔 𝟐 =3 El teorema de Dirac nos ayuda a concluir que se trata de un grafo hamiltoniano.(Hay un ciclo hamiltoniano)

2) El grafo tiene 5 vértices, n=5≥3, 𝑛 2 = 5 2 =2.5 gr(A)=gr(B)=3 gr(C)=gr(D)=gr(E)=2 < 2.5 No se puede concluir que se pueda encontrar un ciclo Hamiltoniano. Pero al analizar el grafo se ve que no se puede acabar en el lado del que se empieza por tanto no es hamiltoniano.

La condición es suficiente pero no necesaria como muestra el siguiente ejemplo:

Teorema de Ore Sea G=(V,E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices, |V| = n ≥ 3. Si para cada pareja de vértices no adyacentes x, y se tiene que gr(x) + gr(y) ≥ n, entonces el grafo es Hamiltoniano.

Ejemplo: En este grafo de n= 5 vértices, las parejas de vértices no adyacentes son: A,E gr(A) +gr(E)=3+2≥5=𝑛 C,E gr(C) +gr(E)=3+2≥5=𝑛 Vemos que la condición necesaria se cumple por lo que podemos asegurar que se trata de un ciclo hamiltoniano.

Ejemplos En este grafo de n= 5 vértices, las parejas de vértices no adyacentes son: (C,D); (D,E); (C,E); (A,B) C,D gr(C) +gr(D)=2+2=4<𝟓=𝒏 Vemos que la hi´pótesis no se está cumpliendo. Pero analizando el grafo podemos asegurar que no se trata de un ciclo hamiltoniano.

Ejemplo: n=6 ≥3 En este grafo las parejas de vértices no adyacentes son: (A,B) (B,C);(A,C);(U,V);(V,E);(U,E) gr(A)+gr(B)=6 ≥6 gr(B)+gr(C)=6 ≥6 gr(A)+gr(C)=6 ≥6 gr(U)+gr(V)=6 ≥6 gr(V)+gr(E)=6 ≥6 gr(U)+gr(E)=6 ≥6 El teorema de ORE nos ayuda a concluir que se trata de un grafo hamiltoniano.(Hay un ciclo hamiltoniano)

MODELIZANDO PROBLEMAS DE LA VIDA REAL 1.- MESAS EN UNA CENA En una cena hay 6 personas. Queremos sentarlas alrededor de una mesa redonda de manera que conozcan a las dos personas que tienen al lado. ¿Será posible si cada una de ellas conoce al menos a 3 personas? Sí, por el teorema de Dirac. En este caso los vértices son las personas (n=6≥3) y cada arista une a dos personas que se conocen entre sí. Usando el teorema de Dirac (n/2=6/2=3) Vemos que cada vértice tiene grado 3≥ n/2=3, entonces hay un ciclo hamiltoniano.

Teorema de Dirac (para caminos ) Sea G=(V,E) un grafo no dirigido, simple y con al menos 3 vértices, |V| = n Si cada vértice tiene grado mayor o igual que (n-1)/2, entonces existe un camino Hamiltoniano en G.

MODELIZANDO PROBLEMAS DE LA VIDA REAL 2.-COLAS Supongamos que un grupo de personas coinciden en la entrada de un cine y algunos se conocen entre sí: ¿Será posible que hagan cola de manera que cada uno de ellos conozca al que tiene delante y al que tiene detrás (claro que el que ocupara el primer lugar bastaría que conozca al de atrás y el último de la fila que conozca al de adelnate.? Sí, a partir del Teorema de Dirac porque cada uno conoce al menos a dos personas

EJERCICIOS: Determine si los siguientes grafos tienen o no un ciclo hamiltoniano. Si es así halla uno en caso contrario argumenta porque no existen.

Para cada uno de estos grafos determina i) si se puede usar el teorema de Dirac para demostrar que el grafo contiene un ciclo hamiltoniano ii) si se puede usar o no el teorema de Ore para demostrar que el grafo contiene un ciclo hamiltoniano iii) si el grafo contiene o no un ciclo hamiltoniano