UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 4º ECONOMÍA Microeconomía Superior Tema 4 : Elección bajo incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez 1

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID “La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia” A. Einstein

Incertidumbre Aparecen nuevos: conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad

Conceptos  Î W {   Î W} Estados de la naturaleza Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={Rep, Dem} o quizás como: W={Rep, Dem, Ind} Estados de la naturaleza  Î W  Î P={ | =1} probabilidades Un vector de consumo sobre el espacio W consumo contingente {   Î W} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={sol, lluvia} o quizás como: W={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} antes de la realización ex ante después de la realización ex post

Distinción ex ante/ex post La línea del tiempo Abanico de estados posibles (W) “Momento de la verdad” La visión ex ante Las decisiones se realizan aquí La visión ex post Sólo un estado  se realiza tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Un enfoque simplificado El espacio de los estados W es finito Se simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza  es x (un número real) Ejemplo: el caso bidimensional Tomamos W = {ROJO,AZUL} Representación gráfica...

Espacio de los estados (W=2) Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza  AZUL Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Consumos con certidumbre perfecta Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados resultado si ocurre ROJO resultado si ocurre AZUL Y0 45° ROJO O

El espacio de bienes se ha expandido: Preferencias El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n  N bienes La teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

Axiomas    |  Î W  , ’ Î P Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= (1, L’;  1,2), donde L’= (1, 2; 1’, 2’). Entonces: (1, L’; 1, 2) ~ (1, 2; 1+ 2 1’, 2 2’).    |  Î W  , ’ Î P

Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonía Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Independencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

Preferencias {|  Î W}  Î P Se establecen sobre: Los consumos contingentes {|  Î W} sus probabilidades  Î P Si W = 2 entonces se establecen sobre: (1, 2; 1, 2) En lo que sigue,  es un número real

Completitud   , ’ |  Î W   , ’ Î P Dados cualesquiera (1, 2; 1, 2) y (1’, 2’;1’, 2’). Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’) ó (1’, 2’; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2) ó (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1’, 2’)   , ’ |  Î W   , ’ Î P

Transitividad  , ’ , ’’ |  Î W   , ’ , ’’ Î P Dados (1,2;1, 2), (1’,2’; 1’,2’) y (1’’,2’’;1’’,2’’): si (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1’, 2’) y (1’, 2’; 1’, 2’) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’) Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’’, 2’’; 1’’, 2’’)  , ’ , ’’ |  Î W   , ’ , ’’ Î P

Continuidad ROJO E Y0 x x AZUL O Preferencias no contínuas Imponemos continuidad Un plan de consumo contingente Y0 Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad huecos no huecos La renta x se conoce como el equivalente de certeza de Y0 E x Y0 ROJO O x

Monotonía (débil)   , ’ | Î W   Î P Dados cualesquiera (1, 2;1, 2) y (1’, 2’; 1, 2) con 1> 1’ y 2  2’ . Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)   , ’ | Î W   Î P

Monotonía (débil)   , ’ | Î W   Î P Dados cualesquiera (1, 2;1, 2) y (1’, 2’; 1, 2) con 1> 1’ y 2  2’ . Entonces: (1, 2; 1, 2) (1’, 2’; 1, 2)   , ’ | Î W   Î P

Monotonía Y1 Y0 AZUL ROJO O El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil Y1 Y0 ROJO O

Dominancia estocástica Dados cualesquiera (1, 2;1, 2) y (1, 2; 1’, 2’) si 1> 2 y si 1’> 1 (y 2’< 2) . Entonces: (1, 2; 1’, 2’) (1, 2; 1, 2)   |  Î W  , ’ Î P Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta) Dados dos arbitrarios (1, 2;1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)  (1’’, 2’’) =(t 1+(1-t) 1’, t 2+(1-t) 2’) (1’’, 2’’; 1, 2) (1, 2; 1, 2) ~ (1’, 2’; 1, 2)  , ’ |  Î W   Î P  tÎ (0,1)

Una función de utilidad U(x1,x2) Curva de indiferencia x2 x1 21

Otra función de utilidad que representa las mismas preferencias U*(x1,x2) La misma curva de indiferencia x2 x1 22

Convexidad (estricta) Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1 AZUL Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1 Y1 Y2 Y2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1 Y0 ROJO O

Independencia Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L’  L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’ La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Axiomas Dados los axiomas anteriores: Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: U(, ) = å  u()  ÎW donde u() es una función creciente, independiente del estado . U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

Paradoja de Allais Si elijes 1 y 4 o 2 y 3…eres… ¡¡¡IRRACIONAL!!! Juego 1. Probabilidad 1 de recibir 1 millón. Juego 2. Probabilidad 0,1 de recibir 5 millones, 0,89 de recibir 1 millón y 0,01 de recibir 0. Juego 3. Probabilidad 0,11 de recibir 1 millón y 0,89 de recibir 0. Juego 4. Probabilidad 0,10 de recibir 5 millones y 0,90 de recibir 0. Si elijes 1 y 4 o 2 y 3…eres… ¡¡¡IRRACIONAL!!!

Actitudes frente al riesgo U(x) X (riqueza) u(x2) u(E(L)) U(L ) Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo u( x1 ) x1 wc E(L) x2

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x2 Una típica CI ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º ¿RMS? x1 O

Algunos casos de interés… Aversión al riesgo Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo: Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión relativa al riesgo: Algunos casos de interés…

La prima de riesgo Depende de: La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado  Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

Modelo de Cartera 2 periodos 2 activos: seguro e incierto Riqueza w X activo incierto y w-X activo seguro (0 ≤ X ≤ w) Rendimiento activo incierto e (variable aleatoria): e1 y e2 Rendimiento activo seguro r, donde asumimos e1 > r > e2 ¿Cuál será la demanda del cada activo? La riqueza del periodo 2 : w1 = X(1+e1)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e1-r) w2 = X(1+e2)+(w-X)(1+r) = (1+r)w+X(e2-r)

Modelo de Cartera Problema del inversor: Max u(w1)+(1- )w2 s.a. Si el individuo invierte una cantidad positiva en cada activo (solución interior) y aversión al riesgo: w1* y w2* se resuelven utilizando la expresión para w2 y la RMS.