UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID"— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 2 : La demanda con incertidumbre Prof. Juan Gabriel Rodríguez 1

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
“La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia” A. Einstein

3 Otras extensiones del modelo básico...
Modelización de problemas económicos específicos oferta de trabajo (comportamiento) Ahorro Nuevos conceptos Incertidumbre Información asimétrica La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……

4 Esquema Teoría del Consumo: incertidumbre
Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Prima de riesgo

5 Incertidumbre Aparecen nuevos: conceptos axiomas sobre el consumidor
restricciones sobre la estructura de las funciones de utilidad

6 Conceptos w Î W {xw  w Î W} Estados de la naturaleza
Ejemplo Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={Rep, Dem} o quizás como: W={Rep, Dem, Ind} Estados de la naturaleza w Î W pw Î P ={pw|w pw=1} probabilidades Un vector de consumo sobre el espacio W consumo contingente {xw  w Î W} Otro ejemplo Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={sol, lluvia} o quizás como: W={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} antes de la realización ex ante después de la realización ex post

7 Distinción ex ante/ex post
La línea del tiempo Abanico de estados posibles (W) “Momento de la verdad” La visión ex ante Las decisiones se realizan aquí La visión ex post Sólo un estado w se realiza tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

8 Un enfoque simplificado
El espacio de los estados W es finito Se simplifica si los planes de consumo son escalares El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza  es x (un número real) Ejemplo: el caso bidimensional Tomamos W = {ROJO,AZUL} Representación gráfica...

9 Espacio de los estados (W=2)
Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza xAZUL Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Consumos con certidumbre perfecta Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados resultado si ocurre ROJO resultado si ocurre AZUL Y0 45° xROJO O

10 El espacio de bienes se ha expandido:
Preferencias El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n  N bienes La teoría del consumo se puede aplicar: Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación veamos

11 Axiomas  xw |w Î W  pw, p’wÎ P
Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos. Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2), donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces: (x1, L’;p1,p2) ~ (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).  xw |w Î W  pw, p’wÎ P

12 Ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)
Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…

13 Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad
Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonía Dominancia estocástica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Independencia Aseguran la existencia de una función de utilidad Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia

14 Preferencias {xw| w Î W} pw Î P Se establecen sobre:
Los consumos contingentes {xw| w Î W} sus probabilidades pw Î P Si W = 2 entonces se establecen sobre: (x1,x2;p1,p2) En lo que sigue, xw es un número real

15 Completitud  xw, xw’ | w Î W  pw , pw’ Î P
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces: Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2) ó (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1’,p2’)  xw, xw’ | w Î W  pw , pw’ Î P

16 Transitividad  xw, xw’ , xw’’ | w Î W  pw , pw’ , pw’’ Î P
Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’): si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’) Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)  xw, xw’ , xw’’ | w Î W  pw , pw’ , pw’’ Î P

17 Continuidad E Y0 x x xAZUL xROJO O Preferencias no contínuas
Imponemos continuidad Un plan de consumo contingente Y0 Buscamos el punto E, posible gracias a continuidad huecos no huecos La renta x se conoce como el equivalente de certeza de Y0 E x Y0 xROJO O x

18 Monotonía (débil)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2) con x1> x1’ y x2  x2’ . Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P

19 Monotonía (estricta)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2) con x1> x1’ y x2  x2’ . Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)  xw , xw’ |w Î W  pw Î P

20 Monotonía Y1 Y0 xAZUL xROJO O
El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil Y1 Y0 xROJO O

21 Dominancia estocástica
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’) si x1>x2 y si p1’>p1 (y p2’<p2) . Entonces: (x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)  xw |w Î W  pw, pw’ Î P Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

22 Convexidad (estricta)
Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)  (x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’) (x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)  xw, xw’ |w Î W  pwÎ P  tÎ (0,1)

23 Convexidad (estricta)
Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1 xAZUL Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1 Y1 Y2 Y2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1 Y0 xROJO O

24 Independencia Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces: L L’  L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’ La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

25 Axiomas Dados los axiomas anteriores:
Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: U(xw, pw) = å pw u(xw) w ÎW donde u(xw) es una función cuasicóncava, independiente del estado w. U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias

26 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
xAZUL Una típica CI ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º pROJO – _____ pAZUL xROJO O

27 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
Dado un consumo contingente Y0 xAZUL Prolongamos la línea desde Y0 hasta Y1 Y (renta) media Y1 Y Por convexidad de las preferencias: U(Y)  U(Y0) pROJO – _____ pAZUL Y0 un resultado útil xROJO O E(x)

28 cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo
De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... La prima de riesgo xAZUL xROJO La pendiente es el ratio de probabilidades Corta a la diagonal en... ...la renta media Nos sirve para definir... M La prima de riesgo B - pROJO pAZUL A PR= E(x) - x cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo x E(x)

29 u u(x) La prima de riesgo u(x2) u(Ex) Eu(x ) u( x1 ) x x1 x E(x) x2
Utilidad de dos resultados posibles u El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza u(x2) u(Ex) La prima de riesgo de nuevo u(x) Eu(x ) Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo u( x1 ) x x1 x E(x) x2

30 La prima de riesgo Depende de:
La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

31 La adopción de riesgo... Elección con incertidumbre y la toma de riesgo: Modelización de la demanda de seguros Modelo de inversión en cartera

32 Demanda de seguros Un consumidor posee inicialmente la dotación de un activo con riesgo Valor de la riqueza ex-ante es W Existe el riesgo de obtener una pérdida de L Si la pérdida se produce, la riqueza es W – L El consumidor puede comprar una póliza de seguros contra el riesgo de esa pérdida L (aseguramiento total) El coste del seguro es K En ambos estados la riqueza ex-post es W – K Si se produce la pérdida, además recibe L de la compañía

33 Aseguramiento total  . Cons NI U(W-K) 1-p AT UE(AT) = U(W-K) I p U(W)
NA AT U(W-K) UE(AT) = U(W-K) U(W) U(W-L) UE(NA) = (1-p)U(W)+pU(W-L) NI I 1-p p Decisiones: AT, aseguramiento total (por la pérdida de L y paga K) y NA, no aseguramiento Estados: NI, no incendio e I, incendio (se produce la pérdida), con probabilidades 1-p y p, respectivamente .

34 Aseguramineto parcial
El consumidor puede comprar una póliza de seguros por una cuantía X [0 , L] El coste del seguro es kX. Si aseguramiento total: kL=K En ambos estados la riqueza ex-post es W – kX Si se produce la pérdida, además recibe X de la compañía

35 Aseguramiento parcial
 Cons NI AP U(W-kX) U(W-L-kX+X) UE(AP) = (1-p)U(W-kX)+pU(W-L+(1-k)X) I 1-p p Decisiones: AP, aseguramiento parcial (por X y paga kX) Nótese que AP es más general que la anterior: AP = AT si X=L AP = NA si X=0 .

36 Gráficamente AT NA xI W -K L-K K W -K W xNI
Dotación W Aseguramiento total en AT Improbable que se sitúe por aquí AT W -K AP Improbable que se sitúe por aquí L-K NA W - L K W -K W xNI

37 Gráficamente AT NA xI W -kL L-kL kL W -kL W xNI AP Dotación W
Aseguramiento total en AT Aseguramiento parcial entre AT y NA W -kL AT AP L-kL Pendiente en VA (1-k)/k NA W - L kL W -kL W xNI

38 Gráficamente AT P xI W -kL W -kX-L+X NA W -kL W -kX W xNI
Aseguramiento parcial en P Aseguramiento total en AT si X=L Aseguramiento nulo en NA si X=0 Aseguramiento parcial W -kL AT P W -kX-L+X Pendiente en VA (1-k)/k NA W - L W -kL W -kX W xNI

39 Aseguramiento parcial óptimo
Max UE(AP) = pU(W-kX)+(1-p)U(W-L+(1-k)X) X Solución de primer orden de tangencia: (1-p)U’(W-kX)/pU’(W-L+(1-k)X)=(1-k)/k .

40 Solución: Solución de AT (X=L) si y sólo si:
p = k (juego justo: cuando la prima es igual a las probabilidades o cuando el beneficio esperado es cero) Solución de AP (X<L) si y sólo si: p < k (cuando la prima es mayor que las probabilidades o cuando el beneficio esperado es positivo) .

41 Solución AT (caso k=p) AT NA xI W -kL L-kL kL W -kL W xNI AP
Aseguramiento total en AT Aseguramiento parcial entre AT y NA AT W -kL AP L-kL Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p NA W - L kL W -kL W xNI

42 Solución AP (caso k>p)
xI Aseguramiento total en AT Aseguramiento parcial entre AT y NA AT W -kX-L+X AP Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p L-kX NA W - L kX W -kX W xNI

43 Práctica (1): (1) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de u.m. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de u.m. (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores. (b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión. (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?¿Y si pudieran distinguir entre los dos tipos?

44 Práctica (1)        . B. C. NAcc U(500.000-K) 0,9 AT
UE(AT) = U( K) Acc  U( K) 0,1 B. C.  NAcc  U( ) 0,9  UE(NA) = 0,9U( )+0,1U( ) NA Acc  U( ) 0,1 KB=22286,3 cuota máxima por asegurarse totalmente .

45 Práctica (1)        . M. C. NAcc U(500.000-K) 0,8 AT
UE(AT) = U( K) Acc  U( K) 0,2 M. C.  NAcc  U( ) 0,8  UE(NA) = 0,8U( )+0,2U( ) NA Acc  U( ) 0,2 KM=44064,5 cuota máxima por asegurarse totalmente Por su parte, las compañías aseguraran a los conductores con una Kmin=26666,6 .

46 ¿Quién contrata? UEB UEM ATB EB=0 ATM NA xAcc Kmin = 26666,6
Aseguramiento total en AT UEM Aseguramiento parcial entre AT y NA ATB EB=0 ATM NA Kmin = 26666,6 KB = 22286,3 KM = 44064,5 xNAcc ,5 ,7

47 Solución: sólo malos conductores
xAcc Aseguramiento total en AT UEM Aseguramiento parcial entre AT y NA EBM =0 ATM NA Kmin = 40000 KM = 44064,5 xNAcc ,5

48 Práctica (2): (2) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3. (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

49 Práctica (2): pista  . Cons AS U(W(1+rs)) UE(AS) = U(W(1+rs)) B
AR AS U(W(1+rs)) UE(AS) = U(W(1+rs)) U(W(1+rB)) U(W(1+rM)) UE(AR) = (1-p)U(W(1+rB)) + pU(W(1+rM)) B 1-p M p Decisiones: AS, activo seguro (rend. rs=0,1) y AR, activo con riesgo (rend. rB=0,2 y rM=0,05) Estados: B, bueno y M, malo, con probabilidades 1-p=0,5 y p=0,5, respectivamente .

50 Práctica (2): solución      (b) No, pues UE=4,8089 Cons AS U(110)
UE(AS) = 4,74 Cons  B  U(120) 0,5  UE(AR) = 0,5*4,93 + 0,5*4,72=4,825 AR M  U(105) 0,5 Invertirá en el activo con riesgo AR EC=4,8253=112,33; Ex=112,5 PR=0,166 (b) No, pues UE=4,8089

51 Práctica (2): diversificación óptima
B  U(W+XrB+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rB- rS)) 0,5 Div Cons   M  U(W+XrM+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rM- rS)) 0,5 (b) Max UE(Div)=0,5*(110+0,1X)1/3+0,5*(110-0,05X)1/3 X[0,100] d UE(Div)/ d X=0 X*=833 X*=100(Todo en AR) .

52 Solución gráfica: UEAR EX x xM xB 110 112,33 112,5 120
Aseguramiento total en AT UEAR Aseguramiento parcial entre AT y NA EX x AS 105 AR xB 110 112,33 112,5 120

53 Ejercicio Un consumidor con una riqueza inicial de W=450 se enfrenta a la posibilidad de perder 400 u.m. con una probabilidad de 1/3. Una compañía de seguros le ofrece la posibilidad de asegurarse y le ofrece un contrato por el cual el individuo abona hoy la cantidad kX y en el caso de que se produzca la pérdida, la compañía le abona X. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/2. (a) Calcule la cantidad de seguro X que contratará si k=1/2 y el beneficio de la empresa aseguradora. (b) La cuota mínima kmin que la compañía estaría dispuesta a cobrar. (c ) La cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse totalmente (si las únicas alternativas fueran asegurarse totalmente o no asegurarse). (d) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, ¿ el individuo se aseguraría parcialmente a la kmax calculada en ( c)? (e) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, calcule la cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse algo parcialmente (por encima de la cual no se asegura ni parcialmente).

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