Unidad 2 Matrices

Concepto de matriz. a ...... .. = (a ) è ç æ ø ÷ ö 11 12 13 1n 21 22 Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna 2ª columna è ç æ ø ÷ ö a 11 12 13 ...... 1n 21 22 23 2n 31 32 33 3n .. m1 m2 m3 mn = (a ij ) 3ª fila Dimensión de la matriz

Definición de matriz A = (ai,j)= Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: A = (ai,j)= Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij)mxn, con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n. Vamos a decir que la Matriz

Los siguientes son ejemplos de matrices de dimensión m x n.

Dos matrices del mismo orden y se dicen iguales, y se escribe si: Matriz fila: Matriz columna: Matriz nula: todos sus elementos son 0. Matriz opuesta de

forman la diagonal principal Matriz cuadrada de orden n: Mismo número de filas que de columnas forman la diagonal principal

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas: Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal

Matriz diagonal Matriz Identidad Matriz escalar Ceros fuera de la diagonal principal Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal Matriz escalar

Suma y diferencia de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo                                                        Sin embargo,                            no se pueden sumar. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Suma de matrices: ej de orden 3 Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij) A + B = ( a ij ) + ( b ) = è ç æ ø ÷ ö 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 + = = è ç æ ø ÷ ö a 11 + b 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 3 4 34 = ( ij )

Propiedades de la adición de matrices Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa: A + B = B + A Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Producto de una matriz por un escalar Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij) k . A = k (a ij ) = k · è ç æ ø ÷ ö a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = è ç æ ø ÷ ö ka 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = ( ij ) Propiedades:   i) k.(s.A) = (k.s).A ii) (k+s).A=kA+s.A iii) k.(A+B)=k.A+k.B iv) 1 ε R : 1. A= A

Pij =  aik · bkj con k=1,….n Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij =  aik · bkj con k=1,….n Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, no se pueden multiplicar Ejemplos:

¿Cuándo es posible el producto de matrices? (aij)mxn . (bij)nxp = Posible filas columnas (cij)mxp El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Producto de matrices: Desarrollo El producto de la matriz A = (a ij ) = è ç æ ø ÷ ö a 11 12 13 ...... 1n 21 22 23 2n 31 32 33 3n .. m1 m2 m3 mn por la matriz B = (b ij ) = ÷ ø ö ç è æ np 3 n 2 1 p 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b ...... .. es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1. b1j + ai2. b2j + ... + ain. bnj =

Ejemplo: producto de matrices 1. El producto de A = è ç æ ø ÷ ö 2 1 – 3 por la matriz B = cada fila de A por cada columna de B. se obtiene multiplicando A · B = è ç æ ø ÷ ö 2 1 – 3 . 6 2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto? (aij)2x3 . (bij)3x3 = producto posible (cij) 2x 3

El producto de matrices no es necesariamente conmutativo -ATENCIÓN.- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. -Ejemplo.- Propiedades del producto de matrices.- 1.- 2.- 3.- 4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo

se puede hacer este producto, pero no se puede hacer es una matriz es una matriz

1.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo. -OBSERVACIONES.- 1.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo. 2.- Puede ser con y . 3.- 4.- no implica necesariamente .

Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm. Ejemplo: Si A = è ç æ ø ÷ ö 1 2 3 4 5 6 entonces A t = Propiedades: I. Para la matriz A, (At)t = A II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

¿Cómo son los elementos de la diagonal principal Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas. Sólo para matrices cuadradas A simétrica si y sólo si , es decir: A antisimétrica si y sólo si , es decir: ¿Cómo son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica?

Propiedades de la matriz inversa Inversa de una matriz, Matrices inversibles Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1 Propiedades de la matriz inversa I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1 II. Si A es una matriz inversible y k  0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1 III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Métodos de cálculo de la matriz inversa Observación: Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: Directamente planteando sistemas de ecuaciones Por el método de Gauss-Jordan

Inversa de una matriz (directamente) Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1. Ejemplo: Dada A = è ç æ ø ÷ ö 2 – 1 para obtener A - = x y z t se ha de cumplir è ç æ ø ÷ ö 2 –1 1 . x y z t = Y de aquí se deduce que: è ç æ ø ÷ ö 2x – z 2y t x + y = 1 Û 1/3 –1/3 2/3 Por tanto A - 1 = è ç æ ø ÷ ö 3 – 2

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A. Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.