f : R  R ; x o  R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x )  “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x  x o RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar xoxo yoyo f : R 2  R ; P o ( x o ;y o )  R 2  PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en P o ”. O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P( x;y )  P o ( x o ;y o ). PROBLEMA 2: P puede acercarse a P o desde ≠ direcciones Esto impide hallar una “ formulación algebraica ” para el “ incremento en P ”  ¿ ΔP ? NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR x x

f : R 2  R ; P o ( x o ;y o )  R 2  PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en P o ” O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P( x;y )  P o ( x o ;y o ).  PROBLEMA 2: P puede acercarse a P o desde ≠ s direcciones Esto impide hallar una “ formulación algebraica ” para el “ incremento en P ”  ¿ ΔP ????? NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR xoxo yoyo Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en P o ) Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “ incremento en P ”. Para ello vamos a hacer que P  P o, según una “dirección” prefijada ; la cual damos a través de “un vector” 

f : R 2  R ; P o ( x o ;y o )  R 2 NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR  PROB. 2  formulación alg. del “ incremento en P ”. Consideramos P  P o, según una “dirección” prefijada la cual damos a través de “un vector”   Hablamos así de “derivada direccional de f ”. yoyo Derivada direccional de f en P o ( x o ;y o ), en la dirección de  D ū f ( x o ;y o ) xoxo

z = f ( x; y) ; P o ( x o ; y o )  R 2 ; P ( x; y )  E( P o )  versor de dirección r ) yoyo Derivada direccional de f en P o ( x o ;y o ), en la dirección de  D ū f ( x o ;y o ) xoxo ¿ΔP? r P (x; y)

Si λ  0 entonces P  P o sobre r ; obtenemos así la derivada de f en P o pero, en la dirección de ū. x o y o

Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; P o (2;1)  f (2; 1) = 4 ū = ( 4; 3 )  ū o = ( 4/5; 3/5 ) D ū f (2; 1) = D ū f (2; 1) = = = = = =

P  Luego:

r

r QoQo Q CxCx s λ ΔzΔz TxTx

RESUMEN: yoyo xoxo r P (x ; y)

RESUMEN:

g (x o + λ ) = f (x o + λ ; y o ) g (x o ) = f ( x o ; y o ) r Luego :



   

C y : z = 2 – x 2 ( y = 1) S Q o ( 1;1;1 ) TyTy  m T y = f x (1; 1)= - 2 x y z 4 x*x* z*z* CyCy x*x* z*z*  ( y = 1) = m T y

(5 ; 300 ) = (cm 3 /atm.) (5 ; 300 ) = (cm 3 /K) V = f ( p; T ) V = f ( 5; 300 ) V = f ( p ; T )

V = f ( 5; 300 ) V p T V = f ( p ; 300) V = f ( p; T ) ( 5; 300 ) ( 6; 300 ) 6 (T = 300) V = (cm 3 ) V  (cm 3 )

( fy)y( fy)y f y y f 22

SON IGUALES !!!!

REGLA DE LA CADENA : g : R 2  R ; h : R  R ( x;y )  z = g ( x;y ) z  u = h (z) f (x; y) = h o g ( x; y )  f : R 2  R (x;y)  u = h o g ( x;y ) h ´ ( g ( x;y ) ). h ´ ( g ( x;y ) ). ( x;y ) Z = g ( x;y ) u=h (z) g h f u= h (z) = sen z g (x; y) = u = h o g (x;y) f = h o g