f P (30; 45) 33 P Q ( x ; y ) T Q (x; y) T = f (x;y) P  30º latitud Norte 45º longitud Oeste P  T (ºC) P (30; 45) 33 P Q ( x ; y ) T Q f f : R2 R (x; y) T = f (x;y) R2 = { (x; y) / x  R ; y R }

f (r; h) V = f (r ;h ) C1 r = 1 ; h = 6 C2 r = 3 ; h = 4 18,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 C3 (5;2) C2 (3;4) C1 (1;6) V = π . r2.h Cilindro (r ;h) f : R+x R+ R (r; h) V = f (r ;h ) π .r2.h f

(r; h) V = f : R+x R+ R V = π .r2.h CMAX ??  r = 4.5 ; h = 2.5 r  1 6 18,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 r h V 4 3 150,80 4,1 2,9 153,15 4,2 2,8 155,17 4,3 2,7 156,84 4,4 2,6 158,14 4,5 2,5 159,04 4,6 2,4 159,54 4,7 2,3 159,61 4,8 2,2 159,24 4,9 2,1 158,40 5 2 157,08 r h V 4,6 2,4 159,54 4,62 2,38 159,59 4,64 2,36 159,62 4,66 2,34 159,64 4,68 2,32 4,7 2,3 159,61 4,72 2,28 159,58 4,74 2,26 159,52 4,76 2,24 159,45 4,78 2,22 159,35 4,8 2,2 159,24 V 159,5426 159,5919 159,6239 159,6385 159,6355 159,6149 159,5764 159,5199 159,4453 159,3524 159,2410 ¿VMÁX ?

R z = f (x; y) f P CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES de “VARIAS VARIABLES”  CAMPOS ESCALARES o FUNCIONES de “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D ⊆ R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado (x ;y) D asigna un único número z  R ” ». f R2 R D Regla o Ley z = f (x; y) (x; y) y π f z D z = f ( x; y ) P (x; y) x

f  CAMPO ESCALAR o FUNCIÓN de “2 variables ” z = f ( x; y ) π D R z x x R

f CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES DE “VARIAS VARIABLES”  FUNCIONES DE “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado “(x ;y) D” asigna un único número z  R ” ». y f z D z (x; y) x  Dominio “natural” de la función: Dn

y =- x -1 r: x =1 1) (x; y) / y = -x - 1  P(x;y)  r  D -1 1 y = - x -1 ; -1 2) (x; y)  x +y +1 > 0  (x;y)  D = semiplano (0; 0)  0+0+1 ≥ 0  (0:0)  D

Existen otros conjuntos importantes asociados a las funciones Uno de ellos: el conjunto “Im f ”. (Imagen de f ) R B´  z = f(x;y) B Im f Observaciones: ► Im f  R ► Im f  “menor” codominio posible

Existen otros conjuntos importantes asociados a las funciones Uno de ellos: el conjunto “graf f ”. “C”; curva plana (en gral). RECUERDO D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados 1er componente  x  D ; 2da componente  y = imagen de x por f . Lo indicamos: graf f = { P(x;y)  R2 / xD ; y = f (x) } f (x) = graf f = { (x ; ) / x R } C B A

Existen otro conjunto importante asociado a las funciones Uno de ellos: el conjunto “graf f ”.  f función escalar (continua)  graf f = CURVA PLANA  f campo escalar ( 2 vs.)  graf f = ………………. CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados 1er coordenada  x  D ; 2da coordenada  y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y)  R2 / x D ; y = f (x) } ternas ordenadas R2 1er y 2da coordenada  (x; y)  D 3er coordenada  z = imagen de (x; y) por f . (x; y)  z P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } Superficie ?? Curva en R3 ? Sólido ???

D  R f : D  R π R2 graf f = { P(x;y)  R2 / x D ; y = f (x) } CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados / 1er coordenada  x  D ; 2da coordenada  y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y)  R2 / x D ; y = f (x) } las ternas ordenandas / R2 1er y 2da coordenada  (x; y)  D 3er coordenada  z = imagen de (x; y) por f . (x; y)  z SUPERFICIE P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } z = f (x; y) con f (x; y) = 8 – 2 x – 4y graf f = {(x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 8- 2x - 4y } C (x; y) z P(x;y;z) (4; 0) A(4;0;0) (0; 2) B(0;2;0) (0; 0) 8 C(0;0;8) (1; 1) 2 P(1;1;2) P π B (1;1) A graf f = { P(x ;y; z) / 2x+ 4y + z = 8 } = π

CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D  R f : D  R x  y graf f = { P(x;y)  R2 / x D ; y = f (x) } graf f = R2 P(x; y; z)  R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } SUPERFICIE (x; y)  z S = graf f D  R2 f : D  R (x; y)  z = f (x; y) P (x;y;z) z = f (x;y) B y x D (x ;y)

 D = R2 graf f = { (x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 6 - 3x - 2y } graf f = { (x ;y; z) / 3x + 2y + z = 6 }  S = PLANO   Problema: Hallar D para que el graf f sea la porción de plano en el 1er octante. 6  D = (x ;y) / 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ 3- 3/2 x D 2 3 x y y 3 D y = 3 – 3/2 x 2 x

graf g = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = } = S ? D graf g = { (x ;y; z) / x2 + y2 + z2 = 9 ; z ≥ 0 } = S ? graf g = Sup. Esférica Superior D = { (x ;y) / 9 – (x2 + y2) ≥ 0 } D = { (x ;y) / x2 + y2 ≤ 9 }  círculo r = 3 ; C (0;0) Im g = { z  R / z = ; x2 + y2 ≤ 9 } = [ 0; 3 ] z =  z ≥ 0  z 2 = 9 – (x2 + y2) 9 - (x2 + y2) ≤ 9  z ≥ 0  z 2 ≤ 9  z ≥ 0  | z | ≤ 3  0 ≤ z ≤ 3

graf h = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = 4 x2 + y2 } = S ? graf h = PARABOLOIDE ( elíptico )

intersección de superfs. graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S   (plano coord. o paralelo a él) π) z = 16 16 C: Curva como intersección de superfs. C C: 4.x2 + y2 = 16 (elipse en π: z = 16) C: ; (z = 16) C: ; t  [ 0; 2 ] ; t  [0; 2] Ecuación vectorial Ecuacs. Paramétrs

intersección de superfs. graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S   (plano coord. o paralelo a él) verticales x = 0 ó y = 0 son parábolas 16 C: Curva como intersección de superfs. C: z = y2 ; (x=0) (parábola en πyz ) C: ; t  R πyz) x = 0 C ; t  R Ecuacs. Paramétrs Ecuación vectorial

e

f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?. Observa que del gráfico de f y del hecho de conocer las funciones escalares elementales que forman este campo escalar se pueden concluir muchas propiedades del mismo. Dirías que: f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?. f es “continua” en R2 ?. la ecuación de la “traza” de la superficie en el plano xz es z = x2 ??

¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?. f es “continua” en R2 ?. c) la “traza” de la superficie en el plano xz es una “sinusoide”? d) la “traza” de la superficie en un plano paralelo al xz es una “sinusoide”? d) | f (x; y) |  2 ,  (x; y)  R2 ¿qué más dirías??

¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?. f es “continua” en R2 ?. c) f no está “acotada” ??. ¿qué más dirías??

Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y” f : D  R ; D  R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 π) z = 20 20 C30 C45 C20 C35 Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y” donde f (x; y) = k ; o sea donde z = k . Equivalentemente, donde el graf f tiene “altura” igual a “k”

Ck = proyección de C sobre el plano xy. f : D  R ; D  R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 C π) z = 20 20 C C45 C20 Observaciones: C = S   k ( TRAZA, resulta de interceptar las dos sup.) Ck = proyección de C sobre el plano xy.

k  Im f  Ck = { (x; y)  D / f (x ; y) = k }  πx y (3) DEFINICIÓN : “CURVA de NIVEL = Ck ” f : D  R ; D  R2 ; graf f = S Ck es la “proyección” sobre el πx y de C (traza correspondiente a S  π(z =k)) k  Im f  Ck = { (x; y)  D / f (x ; y) = k }  πx y π) z = 45 45 π) z = 20 20 C45 C20

D FIGURA 6 

π) z = k C k