COMBINACIONES SIN REPETICIÓN Tema 15.3 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás al menos en uno de sus elementos. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN m! C = ----------- m,n n!(m-n)! Lotería Primitiva Equipos de baloncesto a formar. Juegos de cartas ( Brisca, Tute, etc ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B COMBINACIONES SIN REPETICIÓN EJEMPLO 1 Con los 20 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los cinco alumnos para formar un equipo … CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 20 / 5 = 4 equipos me salen. Efectivamente salen 4 equipos diferentes REALES. Si intercambiamos ( permutamos ) dos alumnos de uno a otro equipo, nos salen dos equipos más que podemos hacer. Vemos que son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES. Al no importar el ORDEN no son ni variaciones ni permutaciones. Luego serán COMBINACIONES. Y como ningún jugador se puede duplicar… COMBINACIONES ORDINARIAS. C20,5 = 20! / 5! (20-5)! = 20! / 5!. 15! = 20.19.18.17.16 / 120 = = 19.3.17.16 = 15.504 equipos diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 2 Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los cinco alumnos para formar un equipo … CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 6 / 5 = 1 equipos me sale, y me sobra un alumno. Efectivamente sale 1 sólo equipo diferente REAL. Si intercambiamos ( permutamos ) un alumno seleccionado por el no seleccionado, me sale un equipo más.. Vemos que son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES. Al no importar el ORDEN so son ni variaciones ni permutaciones. Luego serán COMBINACIONES. Y como ningún jugador se puede duplicar… COMBINACIONES ORDINARIAS. C6,5 = 6! / 5! (6-5)! = 6! / 5!. 1! = 6 equipos diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 3 Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de trabajo de tres alumnos cada equipo se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los tres alumnos para formar un equipo … Y como ningún alumno se puede duplicar… COMBINACIONES. C6,3 = 6! / 3! (6-3)! = 6! / 3!. 3! = = 6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.3.2.1 = 20 equipos diferentes. EJEMPLO 4 Me ha tocado en una lotería un lote de tres películas a elegir entre 10 diferentes. ¿De cuántas maneras puedo componer el lote, si las tres películas deben ser distintas?. No importa el orden en que seleccionemos las tres películas, aunque deben ser distintas … C10,,3 = 10! / 3! (10-3)! = 10! / 3!. 7! = 10.9.8.7! / 6.7! = 120 formas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

NÚMEROS COMBINATORIOS Los llamados números combinatorios son una extensión de las Combinaciones. Así por ejemplo, no podemos formar combinaciones de 0 elementos, vemos que es absurdo. Pero en la práctica la fórmula o modo de obtenerles es la misma : m C m,n = ( ) n Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 La propiedad más importante es: m m ( ) = ( )  C m, n = C m , (m – n) n m – n Ejemplo: C 7 , 2 = C 7 , 5  7! / 2!.5! = 7! / 5!.2!  21 = 21 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 5 – 3 C5,3 = C5,2  5! / 3!.2! = 5! / 2!.3!  10 = 10 7 7 3 7 – 3 C7,3 = C7,4  7! / 3!.4! = 7! / 4!.3!  35 = 35 10 10 7 10 – 7 C10,7 = C10,3  10! / 7!.3! = 10! / 3!.7!  120 = 120 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROPIEDADES m m I. ( ) = ( ) = 1 0 m m m II. ( ) = ( ) n m – n m m m + 1 III. ( ) + ( ) = ( ) n – 1 n n @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos (Verificación) 5 5 I. ( ) = ( ) = 1  5! / 0!.(5 – 0)! = 5! / 1.5! = 1 0 5 6 6 II. ( ) = ( )  6! / 2!.(6 – 2)! = 6! / 4!.(6 – 4)! ; 15 = 15 2 4 5 5 6 III. ( ) + ( ) = ( )  5! / 3!.(5 – 3)! + 5! / 4!.(5 – 4)! = 3 4 4 = 6! / 4!.(6 – 4)!  20 / 2 + 5 / 1 = 30 / 2  10+5 = 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B