UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA Curso de Control Análogo

SISTEMAS Combinación de componentes que actúan juntos para alcanzar un objetivo determinado Están compuestos por: - una (o más) entradas independientes (variables manipuladas) una (o más) salidas resultantes (variables controladas).

DEFINICIONES IMPORTANTES Variable controlada: Cantidad o condición que se mide y controla (generalmente la salida del sistema) Variable manipulada o señal de control: Cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada corrigiendo o limitando la desviación entre el valor medido y el valor deseado (controlar) Planta: Cualquier objeto físico que se vaya a controlar Perturbaciones: Señal que tiende a afectar el valor de la salida de un sistema. Pueden ser internas o externas Control realimentado: Operación que en presencia de perturbaciones tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y una entrada de referencia

EJEMPLOS DE SISTEMAS

EJEMPLOS DE SISTEMAS

SISTEMAS DE CONTROL LAZO ABIERTO

+ - SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida

SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO

MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA Es una réplica de las relaciones entre entrada y salida o entradas y salidas, donde dichas relaciones se sustituyen por expresiones matemáticas. Componente Símbolo Ecuación Resistencia 𝑣 𝑡 =𝑖 𝑡 ∙𝑅 Condensador 𝑣 𝑡 = 1 𝐶 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 Bobina 𝑣 𝑡 =𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA 𝑮 Entrada Salida

EJEMPLO MODELO MATEMÁTICO RLC

EJEMPLO MODELO MATEMÁTICO RLC 𝑉 𝑜 𝑠 = 𝑉 𝑐 (𝑠) 𝑉 𝑖 (𝑠) 𝑉 𝑐 (𝑠)

Función de transferencia en lazo abierto 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂= 𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 =𝑮𝟏∗𝑮𝟐∗…∗𝑮𝒏 Entrada Salida G1*G2*…*Gn

Función de transferencia en lazo cerrado 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂= 𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝑮 𝟏+𝑮𝑯 Entrada Salida 𝑮 𝟏+𝑮𝑯

TIPOS DE TRAYECTORIAS

COMPONENTES DE UN LAZO CERRADO

FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL LAZO CERRADO

Error en estado estable Es la diferencia entre la salida del sistema y su entrada bajo condiciones de estado estable.

Error en estado estable Para un sistema en lazo abierto se tiene que:   Para un sistema en lazo cerrado se tiene que:  

Ejemplo: Hallar error en estado estable en el siguiente sistema para una entrada escalón de magnitud 10

EFECTOS DE LAS PERTURBACIONES EN UN SISTEMA Sistema de control en lazo abierto con una perturbación

Sistema de control en lazo cerrado con una perturbación

ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL a) Estable b) inestable

Función de transferencia en lazo cerrado POLOS Y CEROS Función de transferencia en lazo cerrado Ecuación característica Z1, Z2,….., Zm: Ceros P1, P2,….., Pn: Polos K: Ganancia

POLOS Y CEROS REALES Y COMPLEJOS

PATRÓN DE POLOS Y CEROS Cero en 1; Polo en -1+j

RELACIÓN ENTRE POSICIÓN DE POLOS Y ESTABILIDAD

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

ANÁLISIS POR SIMPLE INSPECCIÓN

ARREGLO DE ROUTH-HURWITZ CON n=5

ANÁLISIS CON EL ARREGLO Si todos los elementos de la primera columna son positivos, quiere decir que todos los polos (raíces de la ecuación característica) están al lado izquierdo del patrón de polos y ceros (parte real negativa). El sistema es estable   Si algún término de la primera columna es negativo, el número de cambios de signo en dicha columna es el mismo número de raíces (polos) con parte real positiva. El sistema es inestable

RESPUESTA EN EL TIEMPO DE UN SISTEMA DE CONTROL Respuesta transitoria: Estado inicial estado final Respuesta en estado estacionario: Comportamiento de la salida cuando el tiempo tiende a infinito

SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE PRIMER ORDEN K: ganancia estática T: constante de tiempo Tiempo de subida: 2.2T Tiempo de asentamiento: 4T Sin sobre impulso

RESPUESTA RAMPA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

RESPUESTA IMPULSO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

COMPORTAMIENTO SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (0<ζ<1) y ζ=0

RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ζ=1 y ζ>1

tr : tiempo de subida (0-100)% ó (10-90)% del valor final PARÁMETROS RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN SUBAMORTIGUADO tr : tiempo de subida (0-100)% ó (10-90)% del valor final td: tiempo de retardo (0-50)% del valor final tp: tiempo pico (0-máximo sobreimpulso) Mp: máximo sobreimpulso ts: tiempo de establecimiento (0 – rango de 2% ó 5% alrededor del valor final)

REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS EN ESPACIO DE ESTADOS

EJEMPLO Circuito RLC

ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA VARIABLES DE ESTADO

Reemplazamos i(t) y su integral por X2 y X1 Despejamos di(t)/dt 𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 =− 1 𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡−𝑅𝑖 𝑡 +𝑉(𝑡) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 =− 1 𝐿𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡− 𝑅 𝐿 𝑖 𝑡 + 𝑉(𝑡) 𝐿 Reemplazamos i(t) y su integral por X2 y X1

Resumiendo: 𝑑𝑋1(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑋2(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 1 − 1 𝐿𝐶 − 𝑅 𝐿 𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡) + 1 𝐿 0 𝑉(𝑡)

Tomando como salida del sistema el voltaje del condensador: 𝑉𝑐= 1 𝐶 𝑖(𝑡) 𝑉𝑐 = 1 0 𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡) + 0 𝑉(𝑡)

Representación de todo el sistema en espacio de estado: 𝑑𝑋1(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑋2(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 1 − 1 𝐿𝐶 − 𝑅 𝐿 𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡) + 1 𝐿 0 𝑉(𝑡) 𝑉𝑐 = 1 0 𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡) + 0 𝑉(𝑡)

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

n = Orden del sistema = número de variables de estado Controlabilidad Recordemos que un sistema dinámico puede ser controlable si es posible alcanzar en un tiempo determinado (finito) un estado deseado a partir de un estado inicial; es decir, si el sistema puede llegar a un set-point determinado en un tiempo finito n = Orden del sistema = número de variables de estado Si el rango de C es igual al orden del sistema, el sistema puede ser controlable

n = Orden del sistema = número de variables de estado Observabilidad Se dice que un sistema es observable si conociendo la entrada u y la salida y es posible determinar el estado x n = Orden del sistema = número de variables de estado Si el rango de C es igual al orden del sistema, el sistema puede ser controlable