CUADRADOS LATINOS HENRY LAMOS Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos. ECONOMETRIA. LAMOS H

DISEÑO DE CUADRADO LATINO En algunas situaciones experimentales pueden influir 2 factores perturbadores, distintos de los tratamientos. Se usa para eliminar dos fuente de variabilidad perturbadora, es decir, permite hacer la formación de bloques en dos direcciones. Se puede usar el arreglo de cuadrado latino para diseñar el experimento. Un cuadrado latino para p factores se trata de un arreglo cuadrado de pxp donde los tratamientos se denotan por las letras latinas A,B,C,D,E… Diseño por bloques

5 X 5 A D B E C 4 x 4 A B D C Los renglones y las columnas representan dos restricciones sobre la aleatorización. Cada una de las pxp celdas resultantes contiene una de las p letras que corresponde a los tratamientos, y cada letra ocurre una y sólo una vez en cada renglón y columna. A un cuadrado latino en el que el primer renglón y la primera columna consta de letras escritas en orden alfabético se le llama cuadrado latino estándar. Diseño por bloques

Ejemplos de cuadrados latinos 4 x 4 A B D C 5 X 5 A D B E C 6 X 6 A D C E B F Figura 4. Ejemplo cuadrados latinos Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Figura 4. Ejemplo cuadrados latinos A un cuadrado latino en el que el primer renglón y la primera columna consta de letras escritas en orden alfabético se le llama cuadrado latino estándar 4 x 4 A B D C 5 X 5 A B C D E 6 X 6 A B C D E F Figura 4. Ejemplo cuadrados latinos Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Uso del cuadrado latino para generar los diseños Un cuadrado estándar tiene los símbolos de tratamiento (A,B,C,.) en orden alfabético en el primer renglón y en la primera columna del arreglo, cada símbolo de tratamiento ocurre una vez en cada columna y una vez en cada renglón del arreglo. Para a=2, 3 existe sólo un cuadrado Para a=4 existen 4 cuadrados Para a=5 existen 56 cuadrados Para a=6 existen 9408 cuadrados Como aleatorizar el diseño. Si se dispone de todos los cuadrados latinos de tamaño axa, la aleatorización se logra con los siguientes pasos: Seleccionar al azar uno de los cuadrados estándar Ordenar al azar todos menos el primer renglón Ordenar al azar todas las columnas Asignar al azar los tratamientos a las letras

4 x 4 A B C D Paso 1. Paso 2. Se obtiene una permutación aleatoria de número para ordenar los tres últimos renglones Permutación Renglón original 3 2 1 4 4 x 4 A B C D Diseño por bloques

Paso 3. Se obtiene una permutación aleatoria de números para ordenar las cuatros columnas Renglón original 1 4 2 3 4 x 4 A D C B Paso 4. Se obtiene una permutación aleatoria para asignar tratamientos a las letras. Esta asignación no es necesaria si el cuadrado latino se seleccionó al azar entre todos los cuadrados posibles. Supongamos que las etiquetas del tratamiento son W, X,,Y Z. Permutación Renglón original 4=D W 2=B X 3=C Y 1=A Z Las etiquetas de tratamiento W,X,Y,Z sustituyen a las letras en cuadrado latino en el orden D,B,C,A Diseño por bloques

Diseño de Cuadrado Latino Un Investigador estudia el efecto que tienen cinco formulaciones diferentes de la carga propulsora usada en los sistemas de expulsión de la tripulación de un avión basado en la rapidez de combustión. Cada formulación se hace con un lote de materia prima que sólo alcanza para probar cinco formulaciones. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencias de los operadores. EL DISEÑO APROPIADO PARA ESTE PROBLEMA CONSISTE EN PROBAR CADA FORMULACIÓN UNA VEZ CON CADA UNO DE LOS CINCO OPERADORES. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Diseño del cuadrado latino para un problema de carga propulsora (ejemplo) Lotes de materia prima Operadores 1 2 3 4 5 A= 24 B=20 C= 19 D=24 E= 24 B= 17 C=24 D= 30 E=27 A=36 C= 18 D=38 E= 26 A=27 B=21 D= 26 E=31 A= 26 B=23 C=22 E= 22 A=30 B= 20 C=29 D=31 Tabla 3. Tratamientos Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Modelo Estadístico Con los respectivos grados de libertad: P es el número de tratamiento. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

ANOVA del diseño cuadrado latino Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fₒ Tratamientos SSTRAT= p-1 SSTRATAMIENTO MSTRATAMIENTO MSE Renglones SSRENGLON= SSRENGLONES Columnas SSCOLUM= SSCOLUMNAS Error SSE =(Por sustracción) (p-2)(p-1) SSE Total SST= p²-1 Tabla 4. Análisis de varianza del diseño del cuadrado latino. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Datos codificados para el ejemplo Lotes de materia prima Operadores 1 2 3 4 5 Yᵢ.. A= -1 B=-5 C= -6 D=-1 E= -1 -14 B= -8 C=-1 D= 5 E=2 A=11 9 C= -7 D=13 E= 1 A=2 B=-4 D= 1 E=6 A= 1 B=-2 C=-3 E= -3 A=5 B= -5 C=4 D=6 7 Y..k -18 18 -4 10=Y… Tabla 5. Datos codificados para el problema de la carga propulsora. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Solución del ejemplo… SST = = SSLOTES = = = SSOPERADORES = Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

SSE= SST - SSLOTES - SSOPERADORES – SSFORMULACIONES Letra Latina Total del Tratamiento A Y.1.= 18 B Y.2.= -24 C Y.3.= -13 D Y.4.= 24 E Y.5.= 5 SSFORMULACIONES SSE= SST - SSLOTES - SSOPERADORES – SSFORMULACIONES = 676.00 – 68.00 – 150.00 – 330.00 = 128.00 Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Tabla 6. Análisis de varianza del experimento de la carga propulsora. ANOVA del ejemplo Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fₒ Formulaciones 330.00 4 82.50 7.73 Lotes de materia prima 68.00 17.00 Operadores 150.00 37.50 Error 128.00 12 10.67 Total 676.00 24 Tabla 6. Análisis de varianza del experimento de la carga propulsora. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Residuales Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Replicas de cuadrados latinos Una desventaja de este diseño es que proporciona un número relativamente pequeño de grados de libertad del error. Para un diseño 4x4 solo se tiene seis grados de libertad del error. Para incrementar los g.l del error se llevan a cabo replicas. Por ejemplo, en un cuadrado latino de pxp al realizar n replicas se puede hacer de la siguiente forma: Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Usando diferentes lotes y diferentes operadores. Usando los mismo lotes (por ejemplo) y operadores (por ejemplo) en cada réplica. Usando los mismos lotes (filas) pero operadores diferentes (columnas) en cada réplica. Usando diferentes lotes y diferentes operadores. El análisis de la varianza depende del método utilizado para hacer réplicas. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

EJEMPLO Un agricultor quiere comparar cuatro variedades de remolacha El terreno del que dispone tiene una mayor pendiente en la dirección este-oeste y la cantidad de nitrógeno en la tierra es superior en la dirección sur-norte. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Convendría dividir el terreno en parcela s de manera que las cuatro variedades de remolacha se siembren en los cuatro puntos cardinales; por esos se utiliza el diseño por cuadrados latinos. De esta forma se recogen las siguientes cantidades en kilogramos de remolacha en cada una de las parcelas. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Estudiar la posible modificación del modelo Describir detalladamente el diseño del experimento y el modelo matemático asociado. Estudiar la posible modificación del modelo Comparar las producciones medias de remolacha. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Al año siguiente se vuelve a sembrar es este mismo terreno los mismos tipos de remolacha, eligiendo la misma disposición que el año anterior. Los kilos de remolacha recogidos en este año son. Plantear el nuevo modelo matemático , construir la tabla ANOVA y obtener conclusiones. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

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Para el caso 1), donde en cada réplica se usan los mismos niveles de los factores para la formación de bloques en los renglones y las columnas. Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad 27 Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fo Tratamiento P-1 renglones Columnas Réplicas n-1 Error sustracción (p-1)[n(p-1)-3] Total Np^2-1 DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS Estadística III. Diseño de bloques aleatorizados, cuadrados latinos.