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 La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la Estadística, ya que las ingerencias que hagamos sobre la población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos márgenes de error controlado, el cual será medido en términos de probabilidad.  Dado que la Estadística se utiliza con mucha frecuencia hoy en día, inclusive ya en el lenguaje cotidiano, es conveniente saber entender con toda precisión qué es lo que se nos dice, por ejemplo, en los medios de comunicación cuando se hace referencia a la probabilidad de algún suceso. 3

 La Estadística, y por tanto el Cálculo de Probabilidades, se ocupan de los denominados fenómenos o experimentos aleatorios. 4

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 Concepto frecuentista  Concepto clásico  Concepto subjetivo  Definición formal de Probabilidad 6

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Así, llamaremos probabilidad a una aplicación P: A [0, 1] tal que › Axioma 1: Para todo suceso A de A sea P(A) 0. › Axioma 2: Sea P(Ω) = 1 › Axioma 3: Para toda colección de sucesos incompatibles, {A i } con A i A j =, debe ser: Obsérvese que esta definición no dice cómo asignar las probabilidades ni siquiera a los sucesos elementales. Solo dice que cualquier asignación que hagamos debe verificar estos tres axiomas para que pueda llamarse Probabilidad 8

 Toda probabilidad cumple una serie de propiedades, las cuales se obtienen como consecuencia de los axiomas que debe de cumplir. A continuación vamos demostrar las más importantes:  P ( ) = 0.  En efecto: Si consideramos la sucesión infinita  es  por lo que, por el axioma 3, deberá ser:  es decir,  P(A)=P(A) + P (A i )  de donde se deduce que P(A i )= P( ), para todo i=2,...., no debe sumar nada, es decir, debe ser  P ( ) = 0.  Se cumple la actividad finita para sucesos incompatibles. Es decir,  si A i A j =, i j 9

Por las propiedades demostradas en la sección anterior, es suficiente conocer la probabilidad de los sucesos elementales, ya que, entonces, se podrá determinar la de cualquier otro suceso. Así, en el ejemplo del Lanzamiento de un Dado, si la probabilidad de obtener un 1 es, p l, la de un 3, p 2, y la de un 5, p 3, la del suceso obtener un número impar, el cual corresponde a ω 28 en el conjunto de los sucesos, será, por la propiedad 2, p 1 + p 2 + p 3. Es decir, el problema radica en asignar una probabilidad a los sucesos elementales: Asignar un número entre 0 y 1 a cada uno de los sucesos elementales, de tal forma que su suma sea 1. 10

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 Mediante un espacio probabilístico damos una formulación matemática a un fenómeno aleatorio que estemos observando. Parece por tanto razonable que si observamos algo que aporte información a nuestro fenómeno aleatorio, ésta deba alterar el espacio probabilístico de partida. 13

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Supongamos que tenemos una urna delante de nosotros de la cual solo conocemos que o es la urna A 1 con 3 bolas blancas y 1 negra, o es la urnA 2 con 3 bolas negras y 1 blanca. Con objeto de obtener más información acerca de cual urna tenemos delante, realizamos un experimento consistente en extraer una bola de la urna desconocida. Si suponemos que la bola extraída resultó blanca 1B y a priori ninguna de las dos urnas es más verosímil que la otra, P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1/2, entonces la fórmula de Bayes nos dice que las probabilidades a posteriori de cada urna son P(A 1 /1B) =3/4 y P(A 2 /1B) =1/4 habiendo alterado de esta forma nuestra creencia sobre la urna que tenemos delante: Antes creíamos que eran equiprobables y ahora creemos que es tres veces más probable que la urna desconocida sea la A 1. Pero, ¿qué ocurrirá si extraemos otra bola? Lógicamente, en la fórmula de Bayes deberemos tomar ahora como probabilidades a priori las calculadas, 3/4 y 1/4, pues éstas son nuestras creencias sobre la composición de la urna, antes de volver a realizar el experimento. Si suponemos que la bola no fue reemplazada (se deja para el lector el caso de re emplazamiento), y sale una bola negra 2N, la fórmula de Bayes nos devolvería a la incertidumbre inicial, ya que sería P (A 1 /2N) =1/2 y P (A 2 /2N) =1/2 Si hubiera salido blanca, la fórmula de Bayes, al igual que la lógica, también sería concluyente, P (A 1 /2B) =1 y P (A 2 /2B) =0 La utilización de la fórmula de Bayes, es decir, la utilización de distribuciones de probabilidad a posteriori como modelos en la estimación de parámetros, al recoger ésta tanto la información muestral, P(B/A i ), como la información a priori sobre ellos, P(A i ), constituye una filosofía inferencial en gran desarrollo en los últimos años, la cual, no obstante, tiene el inconveniente (o según ellos la ventaja) de depender de la información a priori, la cual en muchas ocasiones es subjetiva y por tanto, pudiendo ser diferente de un investigador a otro. 16