CAPITULO III.- MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS. Producto vectorial, escalar y triple producto. Momento de una fuerza respecto a un punto. Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una fuerza. Momentos de una fuerza respecto a un eje dado. Definición de un par de fuerzas. Momento de un par. Pares equivalentes y suma de pares. Descomposición de una fuerza dada en una fuerza y un par. Sistema equivalente de fuerzas. Análisis y solución de problemas.

Producto vectorial Magnitud del vector C El PRODUCTO VECTORIAL también llamado PRODUCTO CRUZ de dos vectores A y B da por resultado el vector C, que se escribe: Se lee: “C igual a A cruz B Magnitud del vector C  = Angulo formado entre A y B 0º    180º

DIRECCIÓN. El vector C tiene una dirección que es perpendicular al plano que contiene los dos vectores A y B, de tal manera que A, B y C formen un sistema derecho. El SENTIDO de C se especifica por la regla de la mano derecha, doblando los dedos de la mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B. El pulgar apunta entonces en la dirección de C, como indica la Figura.

Conociendo tanto la magnitud como la dirección de C, podemos escribir: Donde el escalar AB sen  define la magnitud de C y el vector unitario Uc define la dirección de C. Si el producto vectorial , entonces: Como A  0 y B  0 , es necesario que Sen  = 0, así que  = 0° o  = 180°. Esto sucede si A es paralelo a B. De manera semejante:

Leyes de operación del Producto Vectorial 1.- La ley conmutativa no es válida, es decir: Pero: 2.- Multiplicación por un escalar: 3.- La ley distributiva:

Formulación vectorial cartesiana Para determinar el producto cruz de cada uno de los vectores unitarios cartesianos hacemos uso de la ecuación: Magnitud de i  j La dirección la determinamos usando la regla de la mano derecha, como se observa en la figura siguiente:

De la misma forma se tiene:

Consideremos ahora el producto cruz de dos vectores cualesquiera:

Esta ecuación puede escribirse de manera más compacta como:

DETERMINANTE DE 3X3 DETERMINANTE DE 3X3 (-) (+)

DETERMINANTE DE 3X3 – + + – + – + – +

Producto Escalar Se lee: A punto B El PRODUCTO ESCALAR también llamado PRODUCTO PUNTO de dos vectores A y B, se escribe: Se lee: A punto B Se define como el producto de la magnitud de los vectores A y B por el coseno del ángulo entre ellos. Expresado en forma de ecuación Lo anterior indica que el producto escalar de vectores perpendiculares es igual a cero.

Considerando vectores unitarios tenemos: Leyes de operación del Producto Escalar 1.- Ley Conmutativa. 2.- Multiplicación por un escalar: 3.- Ley Distributiva. Considerando vectores unitarios tenemos:

Producto Escalar de dos vectores A y B  Producto Escalar de dos vectores A y B Aplicaciones del Producto Escalar 1.- Calcular el ángulo formado entre dos vectores o rectas que se intersecan.

2.- Calcular la proyección de un vector a lo largo de un eje.

Aplicaciones del Producto Escalar

Aplicaciones del Producto Escalar

Triple producto – + + – + – + – +