Introducción al Teorema de Gödel Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009 Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009

Introducción al Teorema de Gödel Nociones fundamentales de la aritmética: -1 es un número natural -Sucesor -Suma -Multiplicación -La secuencia de números naturales continua sin fin, no hay círculos, la suma es conmutativa, etc. m (1 < m) Las operaciones aritméticas están completamente determinadas. ¿Cómo fijar el valor de verdad de cualquier proposición matemática? Dios hizo todo lo que tenía que hacer para que esté determinado el valor de verdad de toda proposición matemática. Los humanos necesitamos demostraciones sintácticas: probar esas verdades como teoremas. Nociones fundamentales de la aritmética: -1 es un número natural -Sucesor -Suma -Multiplicación -La secuencia de números naturales continua sin fin, no hay círculos, la suma es conmutativa, etc. m (1 < m) Las operaciones aritméticas están completamente determinadas. ¿Cómo fijar el valor de verdad de cualquier proposición matemática? Dios hizo todo lo que tenía que hacer para que esté determinado el valor de verdad de toda proposición matemática. Los humanos necesitamos demostraciones sintácticas: probar esas verdades como teoremas.

Introducción al Teorema de Gödel El primer teorema de Gödel muestra que la idea según la cual podemos axiomatizar completamente la aritmética (la totalidad de las verdades que Dios creo al inventar la secuencia de números naturales) es equivocada: Si PA es una teoría consistente, ni G PA ni G PA es un teorema de PA. Sin embargo, si PA es consistente, G PA debe ser verdadera. El segundo teorema de Gödel muestra que la consistencia no puede probarse dentro de PA. El primer teorema Con PA G PA tiene un número de Gödel. Pero, Si PA es consistente, G PA no tiene prueba. Si PA es consistente, Pa no puede demostrar Con PA El primer teorema de Gödel muestra que la idea según la cual podemos axiomatizar completamente la aritmética (la totalidad de las verdades que Dios creo al inventar la secuencia de números naturales) es equivocada: Si PA es una teoría consistente, ni G PA ni G PA es un teorema de PA. Sin embargo, si PA es consistente, G PA debe ser verdadera. El segundo teorema de Gödel muestra que la consistencia no puede probarse dentro de PA. El primer teorema Con PA G PA tiene un número de Gödel. Pero, Si PA es consistente, G PA no tiene prueba. Si PA es consistente, Pa no puede demostrar Con PA

Introducción al Teorema de Gödel Procedimiento Algorítmico: un proceso que una computadora puede ejecutar. (Abstracción de consideraciones prácticas vinculadas al tamaño, tiempo y velocidad) Una propiedad es efectivamente decidible ssi hay un procedimiento algorítmico que una computadora podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la propiedad se aplica a un caso dado cualquiera. Una función total es efectivamente computable ssi hay un procedimiento algorítmico que una computadora podría usar para calcular, en un número finito de pasos, el valor de la función a un caso dado cualquiera. La computabilidad algorítmica es independiente de la arquitectura. Procedimiento Algorítmico: un proceso que una computadora puede ejecutar. (Abstracción de consideraciones prácticas vinculadas al tamaño, tiempo y velocidad) Una propiedad es efectivamente decidible ssi hay un procedimiento algorítmico que una computadora podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la propiedad se aplica a un caso dado cualquiera. Una función total es efectivamente computable ssi hay un procedimiento algorítmico que una computadora podría usar para calcular, en un número finito de pasos, el valor de la función a un caso dado cualquiera. La computabilidad algorítmica es independiente de la arquitectura.

Tesis de Turing Las funciones numéricas que son efectivamente computables en sentido Informal son aquellas funciones que son Computables por una máquina de Turing Problemas numéricos: Los problemas numéricos que son efectivamente decidibles en un sentido informal son aquellos que son decidibles por una máquina de Turing. Las funciones numéricas que son efectivamente computables en sentido Informal son aquellas funciones que son Computables por una máquina de Turing Problemas numéricos: Los problemas numéricos que son efectivamente decidibles en un sentido informal son aquellos que son decidibles por una máquina de Turing.

Teoría de la Computabilidad ¿Qué pasa con los problemas no numéricos (funciones de verdad, por ej.)? - Mapear las funciones de verdad en propiedades numéricas Conjunto enumerable: correspondencia biunivoca con los naturales. Hay conjuntos no numerables. Enumerabilidad efectiva: una computadora podría ser programada para generar una lista de sus miembros tal que cualquiera de ellos podría ser mencionado. ¿Qué pasa con los problemas no numéricos (funciones de verdad, por ej.)? - Mapear las funciones de verdad en propiedades numéricas Conjunto enumerable: correspondencia biunivoca con los naturales. Hay conjuntos no numerables. Enumerabilidad efectiva: una computadora podría ser programada para generar una lista de sus miembros tal que cualquiera de ellos podría ser mencionado.

Teorías formales axiomatizadas Presentación informal de la axiomatización de la aritmética: PA: Teoría aritmética de primer orden w Cero es un número natural. w El sucesor inmediato de un número natural es un número natural w Cero no es el sucesor inmediato de un número natural w No hay dos números naturales que tengan el mismo sucesor inmediato. w Si una propiedad se aplica a cero y dado cualquier número, si se aplica a él también se aplica a su sucesor inmediato, entonces esa propiedad se aplica a todos los números naturales. Presentación informal de la axiomatización de la aritmética: PA: Teoría aritmética de primer orden w Cero es un número natural. w El sucesor inmediato de un número natural es un número natural w Cero no es el sucesor inmediato de un número natural w No hay dos números naturales que tengan el mismo sucesor inmediato. w Si una propiedad se aplica a cero y dado cualquier número, si se aplica a él también se aplica a su sucesor inmediato, entonces esa propiedad se aplica a todos los números naturales.

Teorías formales axiomatizadas -Lenguaje formalizado: expresiones lógicas y expresiones no- lógicas. -En el caso de la aritmética, 0, sucesor de un número natural, número natural, z es la suma de x e y, etc. -Axiomas específicos para las expresiones no lógicas. -Aparato deductivo: lógica de primer orden con identidad. -La propiedad de ser una prueba bien formada desde las premisas, x, e y hasta la conclusión z en la teoría T tiene que ser efectivamente decidible. -No es decidible en genaral en FOL si una derivación de z desde x e y existe. Lo que debe ser decidible es si una secuencia de fórmulas que se nos presenta como una prueba es realmente una prueba. -Lenguaje formalizado: expresiones lógicas y expresiones no- lógicas. -En el caso de la aritmética, 0, sucesor de un número natural, número natural, z es la suma de x e y, etc. -Axiomas específicos para las expresiones no lógicas. -Aparato deductivo: lógica de primer orden con identidad. -La propiedad de ser una prueba bien formada desde las premisas, x, e y hasta la conclusión z en la teoría T tiene que ser efectivamente decidible. -No es decidible en genaral en FOL si una derivación de z desde x e y existe. Lo que debe ser decidible es si una secuencia de fórmulas que se nos presenta como una prueba es realmente una prueba.

Teorías formales axiomatizadas -Una teoría T es sólida ssi todo teorema de T es verdadero -Una teoría T es decidible ssi la propiedad de ser un teorema en T es una propiedad efectivamente decidible. Hay un procedimiento mecánico para determinar, para cualquier oración de T, si esa oración es un teorema en T. -Una teoría T decide la oración ssi es un teorema en T o es un teorema en T. -Una teoría T decide correctamente la oración ssi si es verdadera, es un teorema en T y si es falsa es un teorema en T. -Una teoría T es completa respecto de la negación ssi T decide toda oración de su L. Es decir, para cualquier, o es un teorema en T o su negación. -Una teoría T es inconsistente ssi para alguna oración, se puede probar en T o o. -Una teoría T es sólida ssi todo teorema de T es verdadero -Una teoría T es decidible ssi la propiedad de ser un teorema en T es una propiedad efectivamente decidible. Hay un procedimiento mecánico para determinar, para cualquier oración de T, si esa oración es un teorema en T. -Una teoría T decide la oración ssi es un teorema en T o es un teorema en T. -Una teoría T decide correctamente la oración ssi si es verdadera, es un teorema en T y si es falsa es un teorema en T. -Una teoría T es completa respecto de la negación ssi T decide toda oración de su L. Es decir, para cualquier, o es un teorema en T o su negación. -Una teoría T es inconsistente ssi para alguna oración, se puede probar en T o o.

Teorías formales axiomatizadas -El conjunto de los teoremas de T puede ser efectivamente enumarado. Es decir, podemos dar un algoritmo para enumerar mecánicamente las pruebas de sus teoremas. -El que T sea efectivamente enumarable no quiere decir que T sea decidible: Una cosa es tener un método mecánico para generar eventualmete cualquier teorema y otra es tener un método mecánico para, dada cualquier oración arbitraria poder determinar sin continuar para siempre si esa oración está en la lista de teoremas. -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Una teoría inconsistente T es decidible. -El conjunto de los teoremas de T puede ser efectivamente enumarado. Es decir, podemos dar un algoritmo para enumerar mecánicamente las pruebas de sus teoremas. -El que T sea efectivamente enumarable no quiere decir que T sea decidible: Una cosa es tener un método mecánico para generar eventualmete cualquier teorema y otra es tener un método mecánico para, dada cualquier oración arbitraria poder determinar sin continuar para siempre si esa oración está en la lista de teoremas. -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Una teoría inconsistente T es decidible.