Una sinfonía de Φ en Clave de Seis
Un círculo…
… y un triángulo equilátero inscrito
Los puntos medios de sus lados Mediatriz, Mediana Bisectriz, Altura Circuncentro, Baricentro, Incentro Ortocentro
… y la CUERDA que pasa por ellos
¡Queda dividida EN MEDIA y EXTREMA RAZÓN …! por los lados del triángulo
La Sección o partición de un segmento en MEDIA y EXTREMA RAZÓN está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III). La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. Si AC = a, CB = b, AB = a + b, donde CB es el segmento menor, el segmento partido en Razón Áurea debe cumplir que: Ф ab a + b
x 1/Φ 2 x 1/Φ 1/Φ 1 / Φ 2 1/Φ 1 1
1/Φ 3 1 1/Φ 1 1/Φ 2 1/Φ 1/Φ 2 1/Φ x 1/Φ
Demostración:
Éstos triángulos son cartabones, luego son semejantes
1 2 1 Si, por comodidad entonces y
1 Con el Teorema de Pitágoras se deduce que
Lo que DEMUESTRA que: 1 2
2 Y, por tanto
1 Reduciendo la escala a la mitad … Φ 1/Φ … tenemos lo que queríamos demostrar
Las tres mediatrices ¡Y la propina!
Los tres segmentos áureos Φ ΦΦ
Si unimos los seis puntos tenemos… 1 Φ 1 1 Φ 1 Φ 11
El hexágono áureo con ángulos iguales Φ = Φ 2 Φ2Φ2 Φ2Φ2 120º 1 + Φ 2
El hexágono ÁUREO Φ = Φ 2 Φ2Φ2 Φ2Φ2 120º 1 + Φ 2 El lado menor El lado mayor ¡Y esta diagonal es la suma de los lados!
Y aquí está el romboide áureo 1 Φ
Y el trapecio isósceles áureo Φ 1 1/Φ
1 1/Φ 2 1/Φ 3 El Secreto de Φ : RECURSIVIDAD
En esta figura se observa que hay dos cuerdas, el lado CD y la diagonal AB del hexágono, que son cortadas en MEDIA y EXTREMA RAZÓN pon los lados del triángulo equilátero. Lo que evidencia, una vez más, la COMPACIDAD de Φ. 1Φ1 1/Φ 11 CD AB 11