ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN Un ejemplo de este tipo de elemento es un sensor elástico de fuerza tal como se muestra en la figura: asa Masa m F kx Amortiguador x x=0 Resorte

fuerza resultante = masa x aceleración El sensor convierte una entrada de fuerza F en una salida de desplazamiento x. El sistema está inicialmente en estado de reposo al tiempo t=0-, es decir velocidad inicial y la aceleración inicial . La fuerza de entrada inicial F(0-) se equilibra por la fuerza del resorte en el desplazamiento inicial x(0-), es decir: . Si la fuerza de entrada se incrementa repentinamente al tiempo t= 0, entonces el elemento ya no se encuentra en estado estable y su comportamiento dinámico lo describe la segunda ley de Newton: fuerza resultante = masa x aceleración

Si se define: La ecuación diferencial se puede expresar en la forma estándar: Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación se tiene:

Como: Así, Donde: 1/k = sensibilidad K en estado estable Función transferencia para un elemento de segundo orden

IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO Con objeto de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, deben utilizarse señales estándar de entrada. Las dos señales estándar de uso común son la onda escalonada y la onda sinoidal. Respuesta escalonada de elementos de primer orden Si un elemento de primer orden esta sujeto a una señal de entrada de escalón unitario (µ(t) = 1), la transformación de Laplace de la señal de salida es: Expresando la ecuación en fracciones parciales:

Al utilizar la tabla de la transformada de Laplace en sentido contrario, se tiene: Respuesta del elemento de primer orden a un escalón unitario fo(t) Para t=τ, fo(t) = 0.63 Para t=2τ, fo(t) = 0.87 t/τ 1 2

Ejemplo: considere un sensor de temperatura, al inicio, la temperatura del sensor es igual a la del fluido, o sea, T(0-) = TF(0-) = 25 0C. Si de repente TF se eleva a 100 0C, entonces esto representa un cambio escalonado ∆ TF,, cuya altura es de 75 0C. El cambio correspondiente en la temperatura del sensor es: Así, al tiempo t = τ, T = 25 + 75x0.63 = 72.3 0C . Y midiendo el tiempo que tarda T en subir a 72.3 0C, puede obtenerse la constante de tiempo τ del elemento.

Respuesta escalonada de elementos de segundo orden Si un elemento de segundo orden, está sujeto a una señal de entrada de escalón unitario, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento es: Al expresar la ecuación en fracciones parciales, se tiene:

Existen tres casos por considerar: 1. Amortiguamiento excesivo o sobreamortiguado ( > 1) ωnt fo(t) Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden pero con un cierto retardo.

2. Amortiguamiento crítico ( = 1) Al utilizar la transformada inversa de Laplace se tiene: Respuesta del elemento de segundo orden a un amortiguamiento crítico de escalón unitario cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la gráfica anterior para  prácticamente 1.

3. Amortiguamiento insuficiente o subamortiguado ( < 1) fo(t)

En la gráfica se observa el comportamiento general, según cambia el coeficiente de amortiguamiento (x ). Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en su arranque a tiempo = 0, que todas las otras formas de respuesta de segundo orden. Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a su valor final, luego sigue creciendo y oscila con una amplitud que decrece en el tiempo. El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.

Ejemplo: Considérese la respuesta escalonada de un sensor de fuerza con rigidez k= 103 Nm-1, masa m= 0.1 kg y constante de amortiguamiento λ= 10 Nsm-1. La sensibilidad de estado estable K=1/k= 10-3 mN-1, la frecuencia natural ωn= √(k/m) = 100 rad/s y el coeficiente de amortiguamiento  = λ/(2√(km)) = 0.5. Inicialmente, al tiempo t = 0-, una fuerza constante F(0-) = 10 N causa un desplazamiento sostenido de 10 mm. Supóngase que al tiempo t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N, o sea hay un cambio escalonado ∆F de 2 N. El cambio resultante ∆x(t) en el desplazamiento se determina utilizando: ∆x(t) = sensibilidad en estado estable x altura del escalón x respuesta fo(t) de escalón unitario

Respuesta a un escalón unitario para un  = 0.5 1 2 3 4 ωnt fo(t)

Al final, conforme t se agranda, ∆x tiende a valer 2 mm, esto es , x se coloca en un nuevo valor estable de 12 mm. La figura anterior muestra que para  = 0.5, fo(t) tiene un valor máximo en la cresta de la primera oscilación; así, ∆x(t) tiene un valor máximo de 2.34 mm. La cresta de la primera oscilación ocurre al tiempo tP, donde ωntP = 1.8; es decir, tP = 36 ms. EXCEDENTE MÁXIMO: Con esta ecuación se puede hallar  Y luego se puede hallar ωn a partir de la medición de tP , con la siguiente ecuación: