Modelo de Valoración de Activos Financieros Una visión práctica Temas: 5, 6 y 7 Clara Cardone-Riportella Departamento de Economía de la Empresa Universidad Carlos III de Madrid Susana López González Depto. Análisis Económico: Economía Cuantitativa Universidad Autónoma de Madrid

Objetivos del ejercicio: Teoría de Carteras Objetivos del ejercicio: Rentabilidad y Riesgo de una cartera Beta de una cartera Carteras eficientes Ecuaciones de las rectas CML y SML Clasificación de posiciones en desequilibrio

Datos Históricos Trabajaremos con acciones del Sector Bancario y con el índice del mercado español, IBEX-35. Podemos encontrar datos históricos de estos activos en www.bolsamadrid.es . Nos centraremos en las acciones del Sector Bancario que forman parte del IBEX-35. El periodo de estudio abarca desde junio de 2006 hasta mayo de 2008. Trabajaremos con datos hasta abril de 2008 para calcular la rentabilidad media y desviación típica mensual que posteriormente utilizaremos para el calculo de las rectas CML y SML. Utilizaremos el dato de mayo de 2008 para hacer predicciones con el modelo y comparar con el dato realmente obtenido.

Datos Históricos BANCO DE ANDALUCIA BANCO DE CASTILLA BANCO DE CREDITO BALEAR BANCO DE GALICIA BANCO GUIPUZCOANO BANCO PASTOR BANCO POPULAR ESPAÑOL BANCO DE SABADELL BANCO SANTANDER BANCO DE VALENCIA BANCO VASCONIA BANCO ESPAÑOL DE CREDITO BANKINTER BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA IBEX 35 ® Fecha Cierre 01/06/2006 97 20,45 28,5 26,95 11,33 10,18 11,4 6,8 11,29 30,75 17,7 13,42 10,41 16,24 11.346,40 03/07/2006 96 20,62 29 27,05 11,63 10,3 11,74 6,92 11,44 30,14 17,98 14,12 10,02 16,25 11.569,60 01/08/2006 96,4 29,4 27 11,66 10,14 11,68 6,9 11,57 32,15 14,39 10,29 16,47 11.706,60 01/09/2006 22,39 29,11 27,01 12,13 11,13 12,24 7,17 12,1 34,9 20 14,31 10,61 18,04 12.193,00 02/10/2006 98,5 22 29,5 28,01 12,01 11,98 12,95 7,13 12,46 40,4 20,6 16,09 11,18 18,23 12.915,90 01/11/2006 22,06 32,8 26,9 12,2 13,05 13,6 7,78 13,45 38,78 19,9 16,29 12 19,09 13.772,60 01/12/2006 21,56 26,65 12,55 14,5 13,16 7,45 13,51 38,54 19,89 15,67 11,36 18,08 13.660,60 02/01/2007 95 21,49 31,42 12,5 15,33 13,97 8,64 14,49 38,75 18,78 17,17 12,15 18,75 14.364,40 01/02/2007 95,3 22,78 34,3 25,6 14,55 16,11 14,73 8,89 14,4 38,89 18 18,6 12,28 19,31 14.571,50 01/03/2007 94,9 22,95 34,2 25 16 17,1 14,59 8,76 13,72 37,1 17,66 11,07 18,15 14.064,90 02/04/2007 92,15 23,3 34,6 25,55 17,19 15,48 8,83 13,37 40,71 18,07 12,47 18,44 14.730,80 02/05/2007 91 22,99 32,7 25,8 17,61 17,78 14,56 8,37 13,06 42,64 19,45 12,96 17,73 14.416,90 01/06/2007 89,5 22,02 31,49 25,3 15,9 16,59 14,95 8,57 41,53 13,77 18,85 15.501,50 02/07/2007 82,2 20,3 29,25 24 14,98 15,16 13,74 8,1 13,64 39,88 17,05 16,77 13,2 18,13 14.804,70 01/08/2007 81 19,35 26,99 23,23 13,14 14,33 7,82 40,86 16,55 15,15 12,43 17,81 14.595,70 03/09/2007 78,5 18,81 27,15 22,28 12,22 13,61 13,46 7,2 40,84 16,5 11,35 14.546,90 01/10/2007 73,8 18,05 23,7 21 14,47 11,64 12,12 6,77 40 16,6 13,22 10,25 16,56 14.603,00 01/11/2007 72,8 17,65 19,26 14,3 11,32 11,81 6,95 14,64 39,45 17 13,82 10,01 17,14 15.759,60 03/12/2007 72 16,8 22,48 19,03 13,36 11,16 8 14,63 39,65 15,4 14,6 16,93 15.735,00 02/01/2008 64 15 22,18 11 10,7 7,31 39,5 14,02 12,51 16,58 15.002,50 01/02/2008 61,5 13,5 15,98 10,46 12,3 10,48 6,34 12,07 35,93 12,99 11,6 10,5 14,51 13.494,70 03/03/2008 57,85 13,1 19,22 10,64 9,43 10,23 6,01 11,7 35,25 13,4 11,24 9,57 12.862,50 01/04/2008 60,95 13 17,57 11,21 10,35 11,99 7,1 36,55 10,54 12,4 10,42 14,52 13.699,10 02/05/2008 57,05 14 17,5 13,87 10,52 10 11,37 6,52 14,1 36,68 12,08 15,1 14.060,00 Las celdas color salmón representan las acciones del sector bancario que forman parte del IBEX-35

Rentabilidad de un Activo Rendimiento mensual: variación porcentual del precio en un mes. Cuando se trabaja con datos diarios o semanales es más conveniente utilizar como rendimiento el incremento porcentual mediante el logaritmo neperiano.

Rentabilidad Esperada y Riesgo La rentabilidad esperada de un título es igual al rendimiento medio obtenido a través de datos históricos durante cierto periodo. El riesgo de las acciones se mide a través de la desviación típica de los rendimientos. Esta mide la dispersión de los rendimientos pasados respecto del rendimiento medio o rentabilidad esperada.

Rentabilidad Esperada y Riesgo Rentabilidad media durante el mes de junio =PROMEDIO(H34:H55) =DESVESTP(H34:H55)

Rentabilidad de una cartera Sean R1, R2,…,Rn la rentabilidad de n títulos Sean x1, x2, x3,…,x n el porcentaje de renta invertida en cada uno de los títulos anteriores que destina una cartera. La rentabilidad de una cartera es igual a la rentabilidad media ponderada por la proporción de renta invertida en cada uno de los títulos que compone la cartera.

Rentabilidad de una cartera Calculamos la rentabilidad de las carteras siguientes: Carteras Rentab. Media 1 2 3 4 5 BANCO POPULAR ESPAÑOL 0,42% 50% BANCO DE SABADELL 0,50% 0% BANCO SANTANDER 0,91% BANCO ESPAÑOL DE CREDITO -0,08% BANKINTER 0,69% BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA -0,37% RENTABILIDAD CARTERAS   0,46% 0,67% 0,17% 0,56% 0,03%

Riesgo de una cartera Cuando se calcula el rendimiento esperado de una cartera hay que indicar la probabilidad de conseguirlo, a través de la dispersión de los rendimientos respecto de la media. Al estar relacionados el valor de unos títulos con otros, esta relación afecta al riesgo de la cartera. Dichas relaciones entre los títulos o valores vienen dadas por la matriz de varianzas covarianzas.

Riesgo de una cartera El riesgo de una cartera se calcula como: Esta última expresión la podemos reescribir matricialmente como:

Matriz de varizanzas-covarianzas Excel ofrece una serie de herramientas que nos facilitan el estudio estadístico de datos que se encuentran en la opción: Análisis de Datos. Análisis de Datos se encuentra en el menú Herramientas. Si no aparece hay que ir a Herramientas Complementos y seleccionar la opción Análisis de Datos.

Matriz de varizanzas-covarianzas Una vez que en Herramientas aparezca la opción Análisis de Datos será muy fácil realizar análisis estadísticos: dibujar el histograma de frecuencias, covarianzas, correlaciones, análisis de la varianza…...

Matriz de varizanzas-covarianzas En nuestro caso queremos calcular la matriz de varianzas covarianzas.

Matriz de varizanzas-covarianzas VARIANZAS COVARIANZAS   BANCO POPULAR ESPAÑOL BANCO DE SABADELL BANCO SANTANDER BANCO ESPAÑOL DE CREDITO BANKINTER BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA IBEX 35 ® 0,003939416 0,00392436 0,002553878 0,00350097 0,0039846 0,002393925 0,00204922 0,003924357 0,00634488 0,003492374 0,0046564 0,00734909 0,002996009 0,002537 0,00349237 0,003867106 0,00233042 0,00281176 0,00278479 0,00254947 0,003500975 0,002330417 0,00562505 0,00659418 0,002184466 0,00229019 0,003984597 0,002811756 0,01564384 0,002891242 0,00262118 0,00299601 0,00218447 0,00289124 0,002721719 0,00213705 0,002049218 0,002549466 0,002137046 0,00217313

Varianza de una cartera x₁²σ₁² x₁x₂σ₁₂ x₁x₃σ₁₃ x₁x₄σ₁₄ Contribución a la varianza del título 1 (suma de todas las celdas de la fila 1) x₂²σ₂² x₂x₃σ₂₃ x₂x₄σ₂₄ Contribución a la varianza del título 2 x₃²σ₃² x₃x₄σ₃₄ Contribución a la varianza del título 3 x₄²σ₄² Contribución a la varianza del título 4 Varianza de la cartera (suma de todas las celdas)

Varianza de una cartera Contribución al riesgo de la cartera de las acciones BANCO POPULAR Contribución a la varianza de la cartera de las acciones BANCO POPULAR 20,00% 10,00% 5,00% 15,00% 25,00%   BANCO POPULAR ESPAÑOL BANCO DE SABADELL BANCO SANTANDER BANCO ESPAÑOL DE CREDITO BANKINTER BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA 20% 0,000157577 7,84871E-05 2,55388E-05 0,000105029 0,00019923 0,000119696 0,00068556 15,41% 10% 6,34488E-05 1,74619E-05 6,98461E-05 0,000183727 7,49002E-05 0,00048787 10,97% 5% 9,66777E-06 1,74781E-05 3,5147E-05 3,48099E-05 0,0001401 3,15% 15% 0,000126564 0,000247282 8,19175E-05 0,00064812 0,00% 25% 0,00097774 0,000180703 0,00182383 41,01% 0,000170107 0,00066213 14,89% 0,00444761 100,00% Varianza de la cartera

Varianza de una cartera Cuando trabajamos con carteras de más de tres activos es mejor calcular la varianza de la cartera a través del cálculo matricial. En Excel tenemos la posibilidad de multiplicar matrices con la opción MMULT(matriz1, matriz2) teniendo en cuenta que el número de columnas de la matriz1 debe coincidir con el número de columnas de la matriz2. Recordemos que Si tenemos los porcentajes destinados a cada activo en forma de columna deberemos de calcular su matriz transpuesta para aplicar la fórmula anterior. La orden en Excel es TRANSPONER(matriz).

Varianza de una cartera =MMULT(MMULT(TRANSPONER(B14:B19);$B2:$G7);B14:B19) Para que salga el resultado tenemos que pulsar CTRL+MAYUSCULAS+ENTER

Representación gráfica: Rentabilidad-Riesgo

Beta de una cartera El profesor William Sharpe redefinió el rendimiento de los títulos como el resultado de la siguiente suma: El rendimiento del título, Ri , depende de todas las variables intrínsecas de la empresa representadas por . Una empresa puede tener buenos resultados y estar dentro de una sector con buena coyuntura, pero si el mercado cae de manera generalizada, el rendimiento de la empresa se verá afectado. Este grado de afectación viene recogido en el parámetro , mide la sensibilidad del rendimiento del título respecto del rendimiento del mercado. El coeficiente i representa la perturbación o error del ajuste econométrico.

Beta de una cartera Para poder estimar α y β hay que contemplar cuatro hipótesis: La esperanza matemática de los errores es cero. E[i ]=0. Los errores tienen la propiedad de ser homocedasticos, es decir, son independientes unos de otros y no se ajustan a una serie temporal y la varianza de los errores coincide con la varianza de los títulos. i independiente del tiempo del mercado σ2(i )= σ2i No existe autocorrelación entre los errores. Cov(it ,it’ )=0 Los errores siguen una distribución normal i N(0, σ2i)

Beta de una cartera Calculamos de nuevo la matriz de varianzas-covarianzas de las acciones anteriores incorporando además el IBEX-35. 2IBEX-35 =Cov(RBBVA,RIBEX-35)/2IBEX-35

Beta de una cartera El rendimiento esperado de un título depende del coeficiente  que encierra las variables intrínsecas del título que afectan al rendimiento, y del rendimiento esperado del mercado E[RM], que influye en el rendimiento a través de la  del título. El rendimiento de una cartera será por tanto: Donde la beta de la cartera viene dada por:

Riesgo sistemático y Riesgo Propio A través de la relación Tenemos que: = es el Riesgo Sistemático e indica la parte del riesgo del título que depende de la variabilidad de la rentabilidad del mercado. = es el Riesgo Propio e indica la parte del riesgo del título que depende de la variabilidad de los componentes intrínsecos del valor.

Betas, Riesgos Sistemáticos y Propios Consideramos al IBEX-35 como la cartera de mercado. BETAS Riesgo de mercado Riesgo Propio BANCO POPULAR ESPAÑOL 0,94298004 0,001932371 0,001991986 BANCO DE SABADELL 1,16743977 0,002961792 0,000530582 BANCO SANTANDER 1,17317752 0,002990977 0,000876129 BANCO ESPAÑOL DE CREDITO 1,05386887 0,002413563 0,003211491 BANKINTER 1,20617742 0,003161608 0,012482232 BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA 0,98339552 0,002101561 0,000620158 IBEX 35 ® 1 0,002173129 =Cov(RBBVA,RIBEX-35)/2IBEX-35 =2BBVA2IBEX-35 = 2BBVA - 2BBVA 2IBEX-35

Carteras Eficientes Dado el conjunto factible de carteras del mercado, los inversores quieren: maximizar su rendimiento manteniendo el riesgo constante o minimizar el riesgo manteniendo el rendimiento constante  E[Rp] A D B C E A, B, D y E son eficientes

Carteras Eficientes

Carteras Eficientes En el gráfico anterior podemos apreciar como las acciones del Banco Popular ofrecen un riesgo un poco superior al Banco de Santander mientras que las acciones de este último ofrecen una rentabilidad bastante mayor que las del Banco Popular. Tenemos entonces que las acciones del Banco de Santander son más eficientes que las acciones del Banco Popular.

Línea del Mercado de Capitales (CML) Cuando los inversores pueden incluir en sus cartera un activo libre de riesgo entonces cambia en conjunto de carteras eficientes. Línea del mercado de capitales, CML Dejan de ser eficientes E[Rp] A Cartera de Mercado Rf - 

Línea del Mercado de Capitales (CML) Cuando incluimos en el modelo un activo libre de riesgo, la frontera eficiente pasa de ser una curva, a una recta, la CML Esta ecuación nos dice que el rendimiento de una cartera es, como mínimo, igual al rendimiento del activo libre de riesgo Rf, y por cada unidad de riesgo asumida el mercado pagará una prima de riesgo.

Línea del Mercado de Capitales (CML) En el gráfico de rentabilidad riesgo de las acciones del sector bancario también incluye la rentabilidad y riesgo que ofrece el IBEX-35 que representa la cartera de mercado. Podemos observar como el IBEX-35 es más eficiente que las acciones del Banco de Santander ya que ofrecen una mayor rentabilidad con riesgo menor que las acciones del Santander.

Línea del Mercado de Capitales (CML) Cualquier cartera eficiente es combinación lineal de activo libre de riesgo y la cartera de mercado. Podemos reescribir la ecuación de la recta CML del siguiente modo p E[Rp] Rf - E[RM ]- M Proporción de renta destinada al activo libre de riesgo. Proporción de renta destinada al activo libre de riesgo

Línea del Mercado de Capitales (CML) En el caso de nuestro ejercicio tenemos que el tipo libre de riesgo a un mes es del 0,33%. La cartera de mercado está representada por el IBEX-35, cuya rentabilidad y riesgo son 0,97% y 4,77% respectivamente. La ecuación de la recta CML viene dada por:

Línea del Mercado de Capitales (CML)

Línea del Mercado de Capitales (CML) Calculamos la composición de la cartera eficiente que ofrece la misma rentabilidad que las acciones del Banco de Santander. Sabemos que E[RSantander]= 0,91% y Santander= 6,36% y la ecuación de la CML Primero calculamos el riesgo de una cartera eficiente con la misma rentabilidad que la acciones del Banco de Santander: 0,91%=0,33%+0,1342 p p = 4,321% Obsérvese que el riesgo de esta cartera es menor que el que ofrece las acciones del Santander.

Línea del Mercado de Capitales (CML) Proporción de renta destinada al activo libre de riesgo = 1-(4,32% /4,77%)=0,0943 = 0,9057 De manera que la cartera eficiente que ofrece la misma rentabilidad que las acciones del Banco de Santander destinará un 9,43% de la inversión en Letras del Tesoro y un 90,57% en cartera de mercado.

Línea del Mercado de Capitales (CML) Si queremos calcular la rentabilidad de la cartera eficiente que ofrece el mismo riesgo que las acciones del Banco de Santander simplemente sustituimos el riesgo de las acciones del Santander el la recta CML 1,18 % = 0,33% + 0,1342  6,36% De nuevo observamos que la rentabilidad ofrecida por esta cartera es mayor que la ofrecida por las acciones del Santander. Proporción de renta destinada al activo libre de riesgo = -0,33 Proporción de renta destinada al activo libre de riesgo = 1,33 De manera que para formar una cartera eficiente que ofrezca el mismo riesgo que las acciones del Santander habrá que endeudarse en un 33% de nuestro presupuesto en letras de Tesoro e invertirlo todo en cartera de mercado.

Línea del mercado de Activos (SML) La CML sirve para analizar carteras eficientes, pero deja sin resolver la cuestión de cómo analizar carteras y títulos no eficientes. Si una cartera está bien diversificada, desaparece el riesgo propio y sólo soporta riesgo sistemático o de mercado. Sustituimos la expresión en la ecuación de la CML

Línea del mercado de Activos (SML) La ecuación de la SML sirve para analizar los títulos. E[Rp] Rf - SML 1=Infravalorado E[R1 y 2]=Real 2=Sobrevalorado E[RM] 1 =1 2

Línea del mercado de Activos (SML) Con los datos que disponemos, la ecuación de la SML es:

Línea del mercado de Activos (SML) Podemos reescribir la ecuación de la línea SML de la forma: (1-p ) representa la inversión realizada en activo libre de riesgo. p representa la inversión realizada en cartera de mercado.

Línea del mercado de Activos (SML) En el siguiente gráfico se representa la gráfica de la recta SML y la rentabilidad de que ofrecen las distintas acciones durante el mes de mayo.

Ejercicio Propuesto Calcular la rentabilidad y riesgo de todas las acciones del Sector Bancario y representarlo en un gráfico. ¿Qué podemos extraer del gráfico? Calcular la matriz de Varianzas-Covarianzas y la beta de cada una de las acciones respecto del IBEX-35. Calcular la rentabilidad y riesgo de la cartera que destina un 30% de su renta a acciones del BBVA, un 20% a acciones del Banco de Santander y un 50% a acciones del Banco Popular. Calcular la composición de la cartera eficiente que ofrece la misma rentabilidad que las acciones del Banco de Valencia. Calcular la cartera que proporciona la máxima rentabilidad cuando estamos dispuestos a soportar un riesgo del 4%. Calcular la composición de una cartera en equilibrio que tiene una beta de 0,5. Utilizar la rentabilidad de mayo del Banco de Castilla la Mancha y decidir si estas acciones están infra o sobrevaloradas.