GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: “NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

Definición de Geometría La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos y sólidos, asi como de las relaciones que guardan entre sí.

Términos no Definidos Los conceptos geométricos básicos son abstractos y existen solo en nuestra mente. Un Termino no definido se usa cuando la palabra es tan elemental y se supone que todos conocen su significado. Además no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos

Términos no Definidos En Geometría se usa los términos: Punto Recta Plano Estos se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a través del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geométricas.

El punto Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho). A B C

La recta Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula. b C A

¿Cómo identificar las rectas? La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C están sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos: Palabra: recta AC recta CA Símbolo AC CA b C A

El plano Un plano se extiende al infinito en toda dirección y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayúsculas o tres puntos colineales.

¿Cómo identificar el plano? B A C R La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.

El espacio El espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.

Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento. Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia y círculo. Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución).

EL PUNTO

Puntos Colineales.- Son aquellos que pertenecen a la misma recta L. Puntos Coplanares.- Son los que pertenecen a un mismo plano Π.

Ejemplo: Observe que los puntos A, B y C están contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i. A B C D i

Ejemplo: Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E. U m k T Q R S E Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.

Indica los puntos colineales: a) D,U J w F p b) A,B H G T c) G,F e d) J,T

Indica los puntos coplanarios: a) Q,T,R,S J w p b) H,N,V,M H G c) I,O,F,L F T e d) H,G,J,F

LÍNEA RECTA

Tenemos infinitos puntos alineados, y si los colocamos muy cerca unos de otros, obtendremos una línea recta ......................................................................................................... Luego podemos definir línea recta como la sucesión de infinitos puntos alineados. Al estar formada por infinitos puntos, una línea recta no tiene ni principio ni fin.

Propiedades de las rectas

Por un punto pasan infinitas rectas

Por dos puntos pasa una sola recta

Tipos de rectas

Son las que se cortan en un punto RECTAS SECANTES Son las que se cortan en un punto El punto en el que se cortan se llama PUNTO DE INTERSECCIÓN

Son las que no tienen ningún punto en común RECTAS PARALELAS Son las que no tienen ningún punto en común

SEMIRECTA O RAYO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P. Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA P SEMIRRECTA SEMIRRECTA El punto P es el origen de cada una de las semirrectas. Definimos semirrecta como: La porción de recta limitada por un punto

SEGMENTO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella dos puntos A y B. Estos dos puntos determinan una porción de recta llamada SEGMENTO SEGMENTO A B Los puntos A y B son los EXTREMOS del segmento. Definimos segmento como: La porción de recta limitada por dos puntos

Comprueba lo aprendido Encuentra el segmento correcto: M R N S L Q 1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML

ÁNGULOS

Ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen Lado ÁNGULO Lado Vértice

A B O AOB

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas: Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA. Por una letra o número colocado en la abertura a. Por la letra del vértice B.

Tipos de ángulos

ÁNGULO RECTO a b Rectas perpendiculares Ángulo recto es el que tiene sus lados perpendiculares. El ángulo recto tiene un valor de 90º. Rectas perpendiculares

El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos. Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

ÁNGULO AGUDO Ángulo agudo es aquel que es menor que un recto, es decir mide menos de 90º

ÁNGULO OBTUSO Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un recto, es decir mide más de 90º

ÁNGULO COMPLETO Ángulo completo es aquel que sus lados son la misma semirrecta. Su valor es de 360º

ÁNGULOS CONSECUTIVOS Son los que tienen el vértice y un lado comunes. 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

ÁNGULOS ADYACENTES Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 60º 60º 30º 90º Ángulos complementarios son los que juntos suman 90º, es decir, un ángulo recto.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 120º 120º 180º 60º Ángulos suplementarios son los que juntos suman 180º, es decir, dos ángulos rectos.

Bisectriz La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Ejemplo: La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2

Practiquemos… Nombre 1 de otras dos formas 2) GED , DEG 3) GEH , HEG G H D 1 2 E 1) HEF , FEH 2) GED , DEG 3) GEH , HEG 4) DEH , DEG

Comprueba lo que aprendistes Identifica la mejor definición para el término vértice: a) Es el conjunto de todos los puntos. b) Semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales. c) Es el punto en común que es el origen de los lados. d) Unión de dos segmentos.

Comprueba lo que aprendistes Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo y un ángulo que parezca ser bisecado. R F D B C 1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

Vamos a practicar… Nombra dos angulos recto: 1) APB , APD 2) BPE A E B P D T 1) APB , APD 2) BPE 3) DPE , TPE 4) APE