Aplicaciones de la función cuadrática Dirección de Formación Básica.

Aplicaciones de la función cuadrática Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, Usted estará en la capacidad de: Identificar e interpretar los valores máximo y/o mínimo de funciones cuadráticas en una situación de contexto real.

Aplicaciones de la función cuadrática Problema motivador: Un teatro tiene una capacidad de 1 200 espectadores. Usted es el promotor de una obra teatral y estima que si se cobre $30 por localidad, podría contar con 500 espectadores. Pero por cada rebaja de $1 asistirían 50 personas más. Sin embargo, los consultores de mercadotecnia afirman que si se usa la máxima capacidad, no se obtendrá el máximo ingreso. ¿Está Usted de acuerdo?

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 1 [Modelación de la función ingreso 𝑰=𝒑∙𝒒] El fabricante de un producto conoce que la ecuación de demanda para éste es: 𝑝= 1 000 – 2 𝑞, donde: 𝑝 es el precio por unidad, cuando los consumidores demandan 𝑞 unidades por semana. Modele y grafique la función ingreso en términos de la cantidad demandada. Determine el nivel de producción de modo que maximice el ingreso total del fabricante y calcule el ingreso máximo que podría obtener el fabricante. Resolución La función ingreso es 𝐼=𝑝𝑞 𝑞 𝐼 𝐼=𝑝∙𝑞 𝐼= 1 000−2𝑞 ∙𝑞 𝐼=1 000𝑞−2 𝑞 2 𝐼 𝑞 =−2 𝑞 2 +1 000𝑞 Hallando el vértice 𝑉(ℎ;𝑘) ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− 1 000 2 −2 =250 𝑘=𝐼 ℎ =𝐼(250) =−2 250 2 +1000(250) =125 000 b) Se concluye que: el nivel de producción que maximiza el ingreso es de 250 unidades y que el ingreso máximo es de S/. 125 000. Con ello, el vértice es 𝑉(250;125 000)

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 2 [Modelación de la función utilidad 𝑼=𝑰−𝑪] Handy Corporation (HC) es un fabricante de computadoras y actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. Los ingenieros estiman que el costo unitario de producción es de $100. El costo fijo que se requiere para establecer la línea de producción se calcula en US$2 500 000 anuales. Los investigadores de mercado conocen que la ecuación de demanda es 𝑞=−40𝑝+30 000, donde: 𝑝 es el precio por unidad, cuando los consumidores demandan 𝑞 microcomputadoras por año. Modele la función utilidad en términos de las cantidades producidas y vendidas. Determine el precio de venta que maximice la utilidad del fabricante y calcule la utilidad máxima que podría obtener el fabricante. Resolución La función utilidad es 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈=(−40 𝑝 2 +30 000𝑝)−(−400𝑝+5 500 000) Construimos la función ingreso 𝐼=𝑝∙𝑞 𝑈(𝑝)=−40 𝑝 2 +34 000𝑝−5 500 000 𝐼=𝑝∙𝑞 Hallando el vértice 𝑉(ℎ;𝑘) 𝐼=𝑝(−40𝑝+30 000) ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− 34 000 2 −40 =425 𝐼 𝑝 =−40 𝑝 2 +30 000𝑝 𝑘=𝑈 ℎ =𝑈(425) Construimos la función costo total 𝐶= 𝐶 𝑓 + 𝐶 𝑣 =1 725 000 Con ello, el vértice es 𝑉(425;1 725 000) 𝐶=2 500 000+100𝑞 𝐶=2 500 000+100(−40𝑝+30 000) b) Se concluye que: el precio de venta que maximiza la utilidad del fabricante es de $425 y que la utilidad máxima es de $ 1 725 000. 𝐶(𝑝)=−400𝑝+5 500 000 Luego, la función utilidad es 𝑈=𝐼−𝐶

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 3. [Modelación de Oferta] La tabla adjunta muestra los resultados de un sondeo de opinión aplicado a fabricantes de lentes para el sol, sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer a distintos precios. Precio unitario 𝑝 en $ 10 20 30 Cantidad ofrecida 𝑞 95 395 895 Modele la función oferta 𝑞 𝑠 =𝑓(𝑝), sabiendo que es cuadrática. Resolución Para 𝑝=30 y 𝑞=895, se tiene Como la función oferta 𝑞=𝑓(𝑝) es cuadrática, entonces 𝑓 30 =𝑎 (30) 2 +𝑏 30 +𝑐=895 𝑞=𝑓 𝑝 =𝑎 𝑝 2 +𝑏𝑝+𝑐 →900𝑎+30𝑏+𝑐=895 Para 𝑝=10 y 𝑞=95, se tiene Se plantea y resuelve el SEL 𝑓 10 =𝑎 (10) 2 +𝑏 10 +𝑐=95 100𝑎+10𝑏+𝑐 = 95 200𝑎+20𝑏+𝑐 = 395 900𝑎+30𝑏+𝑐 = 895 →100𝑎+10𝑏+𝑐=95 Para 𝑝=20 y 𝑞=395, se tiene Obteniendo que 𝑎=1, 𝑏=0 y 𝑐=−5 𝑓 20 =𝑎 (20) 2 +𝑏 20 +𝑐=395 →400𝑎+20𝑏+𝑐=395 Por tanto, la función oferta es 𝑞 𝑠 =𝑓 𝑝 = 𝑝 2 −5

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 4. [Modelación de demanda] La tabla adjunta muestra los resultados de un sondeo de opinión aplicado a compradores de lentes para el sol, sobre las cantidades que están dispuestos a demandar a distintos precios. Precio unitario 𝑝 en $ 10 11 15 Cantidad demanda 𝑞 280 270 190 Modele la función demanda 𝑞 𝑑 =𝑓(𝑝), sabiendo que es cuadrática. Resolución Como la función demanda 𝑞=𝑓(𝑝) es cuadrática, entonces Para 𝑝=15 y 𝑞=190, se tiene 𝑓 15 =𝑎 (15) 2 +𝑏 15 +𝑐=190 𝑞=𝑓 𝑝 =𝑎 𝑝 2 +𝑏𝑝+𝑐 →225𝑎+15𝑏+𝑐=190 Para 𝑝=10 y 𝑞=280, se tiene Se plantea y resuelve el SEL 𝑓 10 =𝑎 (10) 2 +𝑏 10 +𝑐=280 100𝑎+10𝑏+𝑐 = 280 121𝑎+11𝑏+𝑐 = 270 225𝑎+15𝑏+𝑐 = 190 →100𝑎+10𝑏+𝑐=280 Para 𝑝=11 y 𝑞=270, se tiene Obteniendo que 𝑎=−2, 𝑏=32 y 𝑐=160 𝑓 11 =𝑎 (11) 2 +𝑏 11 +𝑐=270 Por tanto, la función demanda es 𝑞 𝑑 =𝑓 𝑝 =−2 𝑝 2 +32𝑝+160 →121𝑎+11𝑏+𝑐=270

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 5. [Equilibrio en el mercado] Las funciones de la oferta y la demanda de los lentes del sol son 𝑞 𝑠 = 𝑝 2 −5 y 𝑞 𝑑 =−2 𝑝 2 +32𝑝+160. Determine la cantidad de equilibrio. Resolución Para obtener el equilibrio en el mercado, se deben de igualar y resolver la cantidad ofertada con la cantidad demanda. Operando resulta que 𝑝 1 =14,47 𝑝 2 =−3,8 Se descarta el precio negativo 𝑞 𝑠 = 𝑞 𝑑 Conocido el precio de equilibrio 𝑝=14,47 , se procederá a obtener la cantidad de equilibrio → 𝑝 2 −5=−2 𝑝 2 +32𝑝+160 →3 𝑝 2 −32𝑝−165=0 Vamos a usar la fórmula general, para ello identificamos que 𝑞= 𝑝 2 −5 →𝑞= (14,47) 2 −5 𝑎=3, 𝑏=−32 y 𝑐=−165 →𝑞=204,25 Luego Como los artículos son lentes de sol, se concluye que entre 204 y 205 lentes de sol se alcanza aproximadamente el equilibrio. 𝑝 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑝 1,2 = −(−32)± (−32) 2 −4(3)(−165) 2(3)

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 6. [Toma de decisiones] Un teatro tiene una capacidad de 1 200 espectadores. Usted es el promotor de una obra teatral y estima que si se cobra $30 por localidad, podría contar con 500 espectadores. Pero por cada rebaja de $1 asistirían 50 personas más. Sin embargo, los consultores de mercadotecnia afirman que si se usa la máxima capacidad, no se obtendrá el máximo ingreso. ¿Está Usted de acuerdo? Resolución Procederemos a construir la función ingreso. Sea 𝑥 la cantidad de veces que se rebaja del precio en un dólar, entonces 𝐼=𝑝∙𝑞 →𝐼= 30−𝑥 ∙ 500+50𝑥 Sin la rebaja →𝐼(𝑥)=−50 𝑥 2 +1000𝑥+15000 →𝐼=(30)∙(500) Procederemos a hallar el ingreso máximo, para ello, encontraremos el vértice 𝑉(ℎ; 𝑘) Se rebaja la entrada en $1 →𝐼= 30−1 ∙ 500+50 ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− 1000 2 −50 =10 Se rebaja la entrada en $2 𝑘=𝐼 ℎ =𝐼 10 =20 000 →𝐼= 30−2 ∙ 500+50 2 Significa que el ingreso máximo esperado es de $20 000, y se alcanza para Se rebaja la entrada en $3 →𝐼= 30−3 ∙ 500+50 3 𝑞=500+50 10 =1 000 espectadores

Aplicaciones de la función cuadrática Conclusiones: Para encontrar el máximo o mínimo valor de una función cuadrática, se debe de hallar el vértice de la parábola.

Aplicaciones de la función cuadrática Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.