Medidas de posición y de dispersión Cuartiles, deciles, percentiles. Desviación estándar, varianza y coeficiente de variación

Medidas de posición Estas son las que sirven para describir la localización de un dato específico, con relación al resto de la muestra. Tres de las medidas de posición más populares son los llamados: 1. Cuartiles 2. Deciles 3. Percentiles

Medidas de posición Los cuartiles (Q) son los números que dividen a los datos ordenados en 4 partes iguales. Los deciles (D) son los números que dividen e a los datos ordenados en 10 partes iguales. Los percentiles (P) son los números que dividen a los datos ordenados en 100 partes iguales. Existen: 3 cuartiles 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 , 𝑸 𝟑 9 deciles 𝑫 𝟏 , 𝑫 𝟐 , 𝑫 𝟑 ,…, 𝑫 𝟗 99 percentiles 𝑷 𝟏 , 𝑷 𝟐 , 𝑷 𝟑 ,… 𝑷 𝟗𝟗

Medidas de posición: Cálculo de la posición y valor de percentiles en datos no agrupados. Se usará la siguiente regla: Ordenar los datos de la distribución en forma ascendente. Determinar la posición del percentil deseado, así: 𝑝= 𝑛𝑘 100 Donde: 𝑛= tamaño de la muestra. 𝑘= número de percentil deseado 3. Si el valor de la posición 𝑝 resulta entero, entonces sumar 0.5 a ese valor. En caso contrario aproximar el valor de p al entero mayor siguiente (no usar aproximación).

Medidas de posición: Cálculo de la posición y valor de percentiles en datos no agrupados. Ejemplo: Se tomó una muestra de 30 calificaciones de una población de resultados de un examen de Estadística de la Universidad Pedagógica, que aparece a continuación: Calcular: a) el primer cuartil: 𝑄 1 , b) el cuarto decil: 𝐷 4 54 58 65 68 71 73 74 75 76 77 79 80 81 82 84 86 88 91 93 94 96

Medidas de posición: Cálculo de la posición y valor de percentiles en datos agrupados – distribución de frecuencia Para éste cálculo se hace uso de la siguiente fórmula: 𝑃 𝑘 =𝐿𝑟𝑖+𝐶 𝑛𝑘 100 − 𝑓 1 𝑓 𝑃𝑘 Donde: 𝑃 𝑘 : Percentil k – ésimo 𝑘: Número de percentil deseado 𝐿𝑟𝑖: Límite real inferior de la clase centílica. 𝑛𝑘 100 : Posición de la clase centílica. 𝑛: Total de la muestra. 𝑓 1 : Frecuencia acumulada hasta antes del intervalo que contiene la clase centílica. 𝑓 𝑝𝑘 : Frecuencia de la clase centílica. 𝐶: Anchura del intervalo que contiene la clase centílica.

Medidas de posición: Cálculo de la posición y valor de percentiles en datos agrupados – distribución de frecuencia Vamos a Excel.

Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO. SIGNIFICADO. Para ésta medida de posición se requiere de la distribución de porcentajes acumulados (fa%). El rango percentil (RP) de un puntaje, es el número que indica el porcentaje de casos en una distribución, que caen por debajo de él. Se suele representar con el símbolo (RP).

Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO. SIGNIFICADO. Ejemplo: Si un puntaje de 80 tiene un rango percentil de 95; se representa de la siguiente manera: 𝑅𝑃 80 =95. Significa: “Que el 95% de los casos, reciben puntajes más bajos que 80. El otro 5% recibe puntajes arriba de 80”

Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO Medidas de posición: RANGO PERCENTIL (RP) DE UN PUNTAJE DADO. SIGNIFICADO. Cálculo: 𝑹𝑷 𝒙 =𝑨+ 𝒙−𝑩 𝑪 𝑫 Donde: 𝑅𝑃 𝑥 =Rango percentil de un puntaje dado. 𝐴=% de casos abajo (antes) del intervalo crítico (IC). (Porcentaje de casos acumulados hasta antes del IC) 𝑥=Puntaje dado 𝐵=Límite real inferior (Lri) del intervalo crítico (IC) 𝐶=Ancho de la clase que contiene el intervalo crítico. C = Lrs - Lri 𝐷=% de los casos dentro del intervalo crítico. Se calcula con: 𝐷= 𝑓 𝑛 𝑥100%

Medidas de dispersión: Conceptualización Variación o dispersión: Es el grado en que los datos u observaciones de una distribución tienden a concentrarse o extenderse alrededor de un valor central (promedio). Las medidas de dispersión más conocidas son: El rango, alcance, desviación media, desviación típica o estándar, la varianza y el coeficiente de variación.

Medidas de dispersión: Conceptualización Variación o dispersión: Es el grado en que los datos u observaciones de una distribución tienden a concentrarse o extenderse alrededor de un valor central (promedio). Las medidas de dispersión más conocidas son: El rango, alcance, desviación media, desviación típica o estándar, la varianza y el coeficiente de variación.

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos no agrupados. La desviación estándar y la varianza son medidas que nos dan una distancia promedio de cualquier observación de la distribución de datos, con respecto a la media de dicha distribución.

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos no agrupados. Fórmula de desviación estándar: 𝑆= 2 𝑋 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑠= Desviación estándar de la muestra 𝑋 2 = Sumatoria de los puntajes no procesados, elevados al cuadrado 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos no agrupados. Ejemplo: Calcular la desviación estándar del conjunto de puntajes dados de una población en la siguiente disposición: 1, 2, 4, 6, 8, 9. Paso 1: Hacer una tabla en la que se consigne 𝑿, 𝑿 𝟐 . Paso 2: Calcular 𝑿 𝟐 Paso 3: Obtener la media y elevarla al cuadrado. Paso 4: Sustituir y operar en la fórmula.

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos no agrupados. Fórmula de varianza: Es la misma que la de desviación estándar, sólo que sin la raíz cuadrada. 𝑆 2 = 𝑋 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑆 2 = Varianza de la muestra 𝑋 2 = Sumatoria de los puntajes no procesados, elevados al cuadrado 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos no agrupados. Ejemplo: Calcular la varianza del conjunto de puntajes dados de una población en la siguiente disposición: 1, 2, 4, 6, 8, 9. Paso 1: Hacer una tabla en la que se consigne 𝑿, 𝑿 𝟐 . Paso 2: Calcular 𝑿 𝟐 Paso 3: Obtener la media y elevarla al cuadrado. Paso 4: Sustituir y operar en la fórmula.

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados frecuencia simple. Fórmula de desviación estándar: 𝑆= 2 𝑓𝑋 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑠= Desviación estándar de la muestra 𝑓 𝑋 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por el respectivo valor de la observación elevada al cuadrado. 𝑓= Frecuencia de las observaciones 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados frecuencia simple. Fórmula de varianza: Es la misma que la de desviación estándar, sólo que sin la raíz cuadrada. 𝑆 2 = 𝑓𝑋 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑆 2 = Varianza de la muestra 𝑓𝑋 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por el respectivo valor de la observación elevada al cuadrado. 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados frecuencia simple. Ejemplo: Determinar el valor de la desviación estándar y de la varianza, de la siguiente distribución de frecuencia simple. X f 1 2 3 4 5 6 7

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados distribución de frecuencia. Fórmula de desviación estándar: 𝑆= 2 𝑓 𝑋𝑚 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑠= Desviación estándar de la muestra 𝑓 𝑋𝑚 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por la respectiva marca de clase elevada al cuadrado. 𝑓= Frecuencia de las observaciones 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados distribución de frecuencia. Fórmula de varianza: 𝑆 2 = 𝑓 𝑋𝑚 2 𝑛−1 − 𝑛 𝑋 2 𝑛−1 Donde: 𝑠 2 = Varianza de la muestra 𝑓 𝑋𝑚 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por la respectiva marca de clase elevada al cuadrado. 𝑓= Frecuencia de las observaciones 𝑋= Puntaje no procesado 𝑛= Tamaño de la muestra 𝑋 2 = La media al cuadrado

Medidas de dispersión: desviación estándar y varianza en datos agrupados distribución de frecuencia. Ejemplo: Vamos a Excel.

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada El coeficiente de variación. Es una medida relativa que resulta de utilidad al comparar la cantidad de variación en grupos de datos que posean medias diferentes.

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada El coeficiente de variación – Fórmula: 𝑐𝑣= 𝑠 𝑋 𝑥100%

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada Coeficiente de variación. Ejemplo 1: El técnico del laboratorio A en promedio realizó 40 análisis, con una 𝑠=5. El técnico B hace 160 análisis diarios como promedio con una 𝒔=𝟏𝟓. ¿Cuál de las dos muestra menor variabilidad?

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada Coeficiente de variación. Ejemplo 2: Un fabricante de tubos de TV tiene dos tipos de tubos: A y B. El A tiene una duración media de 1,495 horas con una desviación estándar de 280 horas. El tubo B tiene una duración media de 1,875 horas con una desviación estándar de 310 horas. ¿Qué tipo de tubo tiene mayor dispersión relativa?

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada La variable normalizada. Es una medida denominada puntuación estándar o puntuación normalizada o puntuación z, ello nos da el número de desviaciones estándar a que está determinado valor de la variable, por arriba o abajo del valor de la media.

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada La variable normalizada. Fórmula: 𝒛= 𝑿− 𝑿 𝒔 Donde: 𝑋 = Media 𝑋= Valor de la observación 𝑠= Desviación estándar 𝑧=Puntaje estandarizado

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada La variable normalizada. Ejemplo 1. En la asignatura de Programación Estructurada I las calificaciones del curso, tuvieron un promedio de 60% con una desviación estándar de 16. En Contabilidad Intermedia, las calificaciones finales tuvieron una media de 58% con una desviación estándar de 10. Si un alumno obtiene 72% en Contabilidad Intermedia y 68% en Programación Estructurada I. a)¿A cuántas desviaciones estándar está cada una de esas calificaciones por arriba del promedio de la asignatura respectiva? b)¿Qué se puede decir de esto, acerca de su desempeño en ambas asignaturas?

Medidas de dispersión – desviación relativa: coeficiente de variación, variable normalizada La variable normalizada. Ejemplo 2. De un examen final de matemática la media de la muestra fue de 72% y la desviación estándar de 15. Determinar las puntuaciones Z o normalizadas de: a) 60%, b) 93%, c) 72%.