PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Tema 7.3 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] Si u=(a, b) y v=(c, d) u.v = a.c + b.d v [u,v] u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B MÓDULO DE UN VECTOR MÓDULO DE UN VECTOR. Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4)2 + (5 – 2)2 ] = = √ [42 + 32] = √ 25 = 5 B(8, 5) v =(4, 3) A(4, 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos de cálculo de módulos de vectores EJEMPLO_1 Sea el vector v= (-6, 8). Hallar su módulo. |v| =√ [ (- 6) 2 + 8 2 ] = 10 EJEMPLO_2 Sea el vector v =(5, - 12). Hallar su módulo. |v| =√ [ (5) 2 + (-12) 2 ] = 13 EJEMPLO_3 Un vector tiene su origen en el punto A(0, -3) y su extremo en el punto B(-8, 3). Hallar su módulo. |v| =d (A, B) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = = √ [ (- 8 – 0) 2 + (3 – (- 3)) 2 ] = √ ((- 8) 2 + 6 2) = √ [ (64 + 36) = 10 EJEMPLO_4 Un vector tiene su origen en el punto M(- 4, 2) y su extremo en el punto N(4, - 4). Hallar su módulo. |v| =d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = = √ [ (4 - (- 4) 2 + ((- 4) – 2) 2 ] = √ (8 2 + (– 6) 2) = √ (64 + 36) = 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos de producto escalar de vectores EJEMPLO_1 Sea el vector v= (6, 8) y u=(2, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (2, 3).(6, 8) = 2.6 + 3.8 = 12 + 24 = 36 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (3, 11) y u=(1, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (1, 3).(3, 11) = 1.3 + 3.11 = 3 + 33 = 36 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-2, 5) y u=(5, 2). Hallar el producto escalar. u.v = (5, 2).(-2,5) = 5.(-2) + 2.5 = -10 + 10 = 0 EJEMPLO_4 Sea el vector v= (-3, 2) y u=(5, -3). Hallar el producto escalar. u.v = (5, -3).(-3, 2) = 5.(-3) + 2.(-3) = – 15 – 6 = – 21 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO_5 Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º. u.v = |u|.|v|. cos 45 = 6.3.0,707 = 18.0,707 = 15,756 EJEMPLO_6 Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º. u.v = |u|.|v|. cos 60 = 5.7.0,5 = 35.0,5 = 17,5 EJEMPLO_7 Sean los vectores v=(6, -3), u = (-3,7) y |w| = 5. Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma u+v es de 30º. (u+v).w = |u+v|.|w|. cos 30º = |(6-3, -3+7)|.5.0,866 = = |(3, 4)|.5.0,866 = √(9+16).5.0,866=√25. 5. 0,866 = 25.0,866= 21,65 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ÁNGULO QUE FORMAN El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] Si u=(a, b) y v=(c, d)  También: u.v = a.c + b.d Luego tenemos la igualdad: |u|.|v|. cos[u,v] = a.c + b.d De donde despejamos el ángulo que forman: a.c + b.d cos[u,v] = ------------------- |u|.|v| v [u,v] u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y u=(6,8). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ 3 2 + 4 2 ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ 6 2 + 8 2 ] = √ 100 = 10 u.v = (6, 8).(3, 4) = 18+32 = 50 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 50 / 5.10 = 50 / 50 = 1  [u,v] = 0º EJEMPLO_2 Sea el vector v= (-4, 3) y u=(6,-8). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (- 4) 2 + 3 2 ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ 6 2 + (- 8) 2 ] = √ 100 = 10 u.v = (6, - 8).(- 4, 3) = - 24 - 24 = - 48 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = - 48 / 5.10 = - 48 / 50 = - 0,96  [u,v] = 164º  [u,v] = 196º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_3 Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, -2). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ 2 2 + 5 2 ] = √ 29 = 5,3851 |u| =√ [ 5 2 + (-2) 2 ] = √ 29 = 5,3851 u.v = (5, -2).(2, 5) = 10 – 10 = 0 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 0 / 29 = 0  [u,v] = 90º y 270º EJEMPLO_4 Sea el vector v= (0, -5) y u=(3,-3). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ 0 2 + (- 5) 2 ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ 3 2 + (- 3) 2 ] = √ 18 = 4,2426 u.v = (3, - 3).(0, - 5) = 0 + 15 = 15 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 15 / 5.4,2426 = 15 / 21,213 = 0,707  [u,v] = 45º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMAS MÉTRICOS Tema 7.3 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PROBLEMAS MÉTRICOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTO Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4)2 + + (5 – 2)2 ] = = √ [42 + 32] = √ 25 = 5 B(8, 5) v =(4, 3) A(4, 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2) = √ 50 = 5 .√ 2 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 5) al punto Q(- 3, a) es 10. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 10 √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 5)) 2 ] = 10 √ [ (- 8) 2 + ( a + 5) 2 ] = 10 Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 10.a + 25 = 100 a 2 + 10.a - 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 a= --------------------------- = -------------- = 2 2 - 11 El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1) y también ( - 3, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO_3 La distancia del punto M(0, - 2) al punto N(a, b) es 13. Hallar las coordenadas del punto N, sabiendo que la ordenada es doble que la abscisa. d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 13 √ [ (a - 0) 2 + ( b - (- 2)) 2 ] = 13 Por el enunciado: b= 2.a Luego tenemos: √ [ a 2 + ( 2.a + 2) 2 ] = 13 Eliminando la raíz y operando las potencias notables: a 2 + 4.a 2 + 8.a + 4 = 169 5.a 2 + 8.a - 165 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 8 +/- √(64 + 3300) - 8 +/- 58 5 a= --------------------------- = -------------- = 2.5 10 - 6,6 El punto Q tiene de coordenadas (5, 10) y también ( - 6’6, - 13’2). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales. Como además las hipotenusas deben ser iguales, ambos triángulos son iguales, con lo que los catetos son iguales. x2 – x = x – x1 y2 – y = y - y1 B (x2, y2) Obtenemos: x2 – x1 = 2.x y2 – y1 = 2.y Por lo cual las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 y2 + y1 x = ---------- ; y = ---------- 2 2 y M(x, y) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 1 Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(-2. 5) y B(6, 7) Las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 6+(-2) 4 y2 + y1 7 + 5 12 x = ------------ = ----------- = ---- = 2; y = ----------- = --------- = ---- = 6  M(2,6) 2 2 2 2 2 2 Ejemplo 2 El punto M(-2, 3) es el punto medio del segmento AB, donde A(-7, 5) y B(a, b) Hallar las coordenadas del extremo B. Tenemos: x2 + x1 - 7 + a x = -----------; - 2 = -----------  - 4 = - 7 + a  - 4 + 7 = a  a = 3 2 2 y2 + y1 5 + b y = -----------; 3 = ---------  6 = 5 + b  6 – 5 = b  b = 1 2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B