Estadística Administrativa I 2014-3 Prueba de hipótesis de 2 muestras - t

Estadístico t Muestras aleatorias de 2 poblaciones distintas No se conocen las desviaciones estándar poblacionales Se supone que las desviaciones estándar son desiguales Poblaciones independientes Cálculo de los grados de libertad 𝑔𝑙= 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑠 1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 −1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑛 2 −1

Fórmulas del estadístico 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 𝑋 1 : 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑋 2 : 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 1 : 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 2 : 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑠 𝑐 2 : 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑡: 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

Ejemplo 1 . . . Una muestra aleatoria de 20 elementos de la primera población revelo una media de 100 y una desviación estándar de 15. Una muestra de 16 elementos para la segunda población revelo una media de 94 y una desviación estándar de 8. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis que la media de la primera población es menor que la segunda población. Datos muestra 1 𝑋 1 =100 𝑠 1 =15 𝑛 1 =20 Datos muestra 2 𝑋 2 =94 𝑠 2 =8 𝑛 2 =16 𝑠 1 2 = 15 2 =225 𝑠 2 2 = 8 2 =64

. . . Ejemplo 1 Hipótesis 𝐻 0 : 𝜇 1 < 𝜇 2 𝐻 𝑎 = 𝜇 1 ≥ 𝜇 2 Nivel de significancia 𝛼=0.05 Estadístico de prueba 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 𝑔𝑙= 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑠 1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 −1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑛 2 −1

. . . Ejemplo 1 Regla de decisión 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝛼=0. 05 Datos muestra 1 𝑋 1 =100 𝑠 1 =15 𝑛 1 =20 Datos muestra 2 𝑋 2 =94 𝑠 2 =8 𝑛 2 =16 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑠 1 2 = 15 2 =225 𝑠 2 2 = 8 2 =64 𝑔𝑙= 225 20 + 64 16 2 225 20 2 20−1 + 64 16 2 16−1 =30.08 𝑡=1.697

. . . Ejemplo 1 Toma de decisión La hipótesis nula no se rechaza 𝑡= 100−94 225 20 + 64 16 = 6 15.25 = 6 4.03 =1.54 La hipótesis nula no se rechaza

Ejemplo 2 . . . El personal de una laboratorio de pruebas del consumidor evalúa la absorción de toallas de papel. Se desea comparar un conjunto de toallas con otra marca. Cada una de ellas se sumerge en un líquido durante 2 minutos y se evalúa la cantidad de líquido que el papel absorbió. Una muestra aleatoria de 9 toallas de nuestra marca absorbieron la siguiente cantidad de líquido (mm). 8 8 3 1 9 7 5 5 12 Una muestra aleatoria de 12 toallas de otra marca absorbió las siguientes cantidades: 11 10 6 8 9 9 10 11 9 8 10 Con un nivel de significancia de 0.10

. . . Ejemplo 2 𝐻 0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 ≠ 𝜇 2 𝛼=0.10 Hipótesis 𝐻 0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 ≠ 𝜇 2 Nivel de significancia 𝛼=0.10 Estadístico de prueba 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 𝑔𝑙= 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑠 1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 −1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑛 2 −1

. . . Ejemplo 2 Regla de decisión 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.10 Datos muestra 1 𝑛 1 =9 𝑋 1 =6.44 𝑠 1 2 =11.03 Datos muestra 2 𝑛 2 =12 𝑋 2 =9.42 𝑠 2 2 =2.63 𝑔𝑙= 11.03 9 + 2.63 12 2 11.03 9 2 9−1 + 2.63 12 2 12−1 =10 𝑡=±1.812

. . . Ejemplo 2 Toma de decisión La hipótesis nula no se acepta 𝑡= 6.44−9.42 11.03 9 + 2.63 12 = −2.98 1.2020 =−2.479 La hipótesis nula no se acepta

Ejemplo 3 . . . Un banco desea saber el comportamiento de sus clientes de tarjeta de crédito de acuerdo a la solicitud con fue contratado el producto; por interés propio o contactado por teléfono por un agente. Con una significancia de 0.05 probar la hipótesis para las siguientes muestras: Solicitadas (1) Interés propio (2) 𝑋 1 =1,568 𝑠 1 =356 𝑛 1 =10 Hipótesis 𝐻 0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 ≠ 𝜇 2 Nivel de significancia 𝛼=0.05 𝑋 2 =1967 𝑠 2 =857 𝑛 2 =8 𝑠 1 2 = 356 2 =126736 𝑠 2 2 = 857 2 =734449

. . . Ejemplo 3 Estadístico de prueba 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 Regla de decisión 2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑔𝑙= 126736 10 + 734449 8 2 126736 10 2 10−1 + 734449 8 2 8−1 = (104480) 2 160620137 9 + 8428364588 7 𝑔𝑙= 𝑠 1 2 𝑛 1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑠 1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 −1 + 𝑠 2 2 𝑛 2 2 𝑛 2 −1

. . . Ejemplo 3 Regla de decisión 2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑔𝑙= 10 916 012 936 122 189 876 6 =8.934 𝑔𝑙=8 𝑡=±1.860 Toma de decisión 𝑧= 1568−1967 126736 10 + 734449 8 = −399 194468,625 =−1.234 La hipótesis nula no se rechaza

Fin de la presentación Muchas gracias Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill