44 AXIOMAS, TEOREMAS

45 COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD III :DEFINICION,AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD Competencia: -El estudiante debe utilizar correctamente las diferentes definiciones sobre Probabilidad de acuerdo al tipo de experimento y evento a tratarse, bajo los diferentes axiomas y teoremas sobre probabilidad para su aplicación en la Confiabilidad de un sistema Objetivos. -Aplicar adecuadamente las definiciones,axiomas y teoremas sobre la probabilidad para determinar las probabilidades de cualquier tipo de evento y aplicar eficientemente en la determinación de la confiabilidad de cualquier sistema. Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :De probabilidad Clásica, como frecuencia relativa y subjetivas ; Las características comunes a las diferentes definiciones traducidas en Axiomas y Teoremas.,La aplicación de eventos independientes en la confiabilidad de un sistema Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.54 al 73 Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,142 al 168 Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú.Pags 56 al 234 Referencia electrónica: de probabilidades

46 Unidad III DEFINICION,AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD 1.-Definición Clásica.- Sea un ε  cuyos elementos son “equiprobables”,donde se define un evento A entonces la P(A) = Nº de casos favorables al evento A = n(A) Nº total de casos posibles = n Ej. Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja de 52 naipes Sol.- Sea ε :” sacar una carta de una baraja” ; Sea A:” sacar una as”  n(A) = 4 ; n=52  P(A) = 4 / 52 = 1 / 3

47 2.-Definición como frecuencia relativa. Sea - un ε ,donde se define un evento A la P(A)  es la proporción de veces q´el evento sucederá en una serie prolongada de experimentos reiterativos  n(A) / n. Ej.Ciertas pruebas demuestran que 294 de 300 pc de cierta marca probados podrían resistir un corte circuito¿cuál es la Probabilidad de que cualquiera de tales pc pueda resistir un corte circuito? Sol.- Sea el evento A:”pc resiste un corte circuito”  n(A) = 294, n= 300  P(A) = n(A) / n = 294 / 300= Definición subjetiva.- Dado un experimento “único”,la probabilidad de que ocurra el evento A,es el “grado de creencia “asignado a la ocurrencia de dicho evento por una persona,basado en toda evidencia a su disposición

48 -AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD.-Las tres definiciones diferentes tienen en común los axiomas y teoremas: Ax1  0  P(A)  1 ;  Ax2  P(  ) = 1 Ax3 , P(A U B ) = P(A) + P(B),sii A y B son mutuamente excluyentes T1.- P(  )= 0; P. evento imposibleT2.- P(A´) = 1 – P( A ) ;P. del complemento T3.- P( A U B ) = P(A) + P(B)- P(A  B) para A,B cualesquiera Ej.La probabilidad que una dama reciba a lo más 5 llamadas en un día es 0.20;y por lo menos 9 llamadas en un día es 0.50¿cuál es la probabilidad que la dama reciba :6,7,8, llamadas en un día. Sol.  = {0,1,2,  } ; A:”reciba a lo más 5 llamadas”= {0,1,2,3,4,5 } B:”Reciba por lo menos 9 llamadas” = {9,10,11,12,  } C:”Reciba 6,7,8 llamadas” = {6,7,8 } comoA,B,Cson mutuamente excl.y colectivamente exhaustivos   = AUBUC  P(  )=P(A)+P(B)+P(C) 1= P( C )  P ( C ) = 0.30

49 PROBABILIDAD CONDICIONAL Se utiliza,cuando se quiere determinar la probabilidad de q´ocurra un evento,sabiendo q´otro evento ha ocurrido,es decir,sean los eventos : A y B sdefinidos en el  P(A / B ) = P(A  B) / P(B),ó  P(B / A ) = P(A  B) / P(A ) REGLA GRAL DE LA MULTIPLICACIÓN Despejando  P(A  B) = P(B) * P(A / B ) ; P(A  B) = P(A) * P(A / B ) REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN Si A y B son eventos independientes  P(A  B) =P(A)*P(B)=P(B)*P(A) Ej.Cuál es la probabilidad de obtener 2 veces el mismo lado en dos lanzamientos de una moneda? Solución:Sean los siguientes eventos: : A:”1era vez un lado”=P(A) = 0.5 ;B:” 2ª vez el lado” =P(B)=0.5 A  B :”Obtener el mismo lado 2 veces”  P(A  B) =0.5*0.5=0.25

50 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sea una partición:B1,B2,...Bk,def. en el espacio muestral “  ”,donde se define un evento A que cumple  P(A) =  P(Bi) P(A/Bi) Probabilidad total  P(A)= P(B1)P(A / B1) +P(B2)P(A /B2)+....+P(BK)P(A /BK) TEOREMA DE BAYES P(Br /A)=P(Br) P(A /Br) / P(A) Ej.Una Cía ensambladora de CPUS,utiliza partes de 3 proveedores:B1,B2,B3; de 2000 partes recibidos,1000 provienen de B1;600 de B2 y 400 de B3. Sabiendo que proveen:3%;4%,5% partes defectuosos respectivamente.Si se elige al azar una CPU a)Cuál es la probabilidad que tenga parte defectuosa,b)Si contiene parte defectuosa,cuál la probabilidad que haya sido proveído por el B2? SOL.Sean Bi:” Partes provistas por el i -ésimo proveedor”  P(B1)=1000/2000=0.5; P(B2)=600/2000=0.3;P(B3)=400/2000=0.2 Sea A:”Parte defectuosa”  P(A)= 0.03* * *0.2=0.037 P(B2 /A)= P(B2) P(A /B2) / P(A) =0.3*0.04 /0.037 =0.3243

51 EVENTOS INDEPENDIENTES Surgen los eventos independientes cuando los mismos no estan conectados y la ocurrencia de un de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro y viceversa. Definicion.-Sean dos eventos A y B tales que 1)P(A/B) = P(A) si P(B) > 0 ;2) P(B/A) = P(B) si P(A) >0, 2)3)P(A  B) = P(A) P(B) Consecuencias.- Si A y B son eventos cualesquiera en el espacio muestral pero independientes entonces: P(A U B ) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) Generalizando P(A1 U A2U…..UAn ) =1-∏ P(Á) Ej.Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede requerir 3 tipos de reparaciones cuyas probabilidades son:0.05 : 0.04 ; y 0.02 Respectivamente.Cual es la probabilidad que un amplificador requiera reparacion durante su primer año de uso,si dacad reaparacion es independiente. Sol sean los eventos :Ei:”I-esimo apmlificador require reparacion” i=1,2,3 E:”Amplificador elegido requier reparacion” P(UEi)= 1-[ 1-P(E1)] [ 1-P(E2)] [ 1-P(E3)]=