Tasa de variación media de una función Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: f(b) – f(a) b – a Tm f[a, b] = La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente f(b) b f(b) – f(a) > 0 f(a) f(a) f(b) – f(a) < 0 a a Tm f[a, b] > 0 f(b) b Tm f[a, b] < 0 Final

Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña, con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido que varía la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p. f(p + h) p + h f(p + h) – f(p) Derivada de f en el punto de abcisa p: el límite ha existir y ser finito f(p) p Final

La recta tangente como límite de rectas secantes Final t2 X Y P t3 Q1 Q2 tn Q3 t ... Qn ... C La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es la posición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquier punto de C que tiende a P a los largo de la curva

Interpretación geométrica de la tasa de variación media: pendiente de la recta secante Q La pendiente de la recta secante a la curva, por P y Q es: p + h f(p + h) f(p + h) - f(p) P a p f(p) h Final

Interpretación geométrica de la derivada: pendiente de la recta tangente Final Al hacer que h  0, ocurrirá que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercándose a P p f(p) p + h f(p + h) h f(p + h) - f(p) P Q a La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente La tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p

Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto La ecuación de la recta que pasa por un punto P(xo, yo) y tiene de pendiente m es: y – yo = m (x – xo) a f '(p) = tg a p f(p) La ecuación de la recta la gráfica de la función f por el punto de abcisa p es y – f(p) = f ' (p) (x – p) siempre que f tenga derivada en p Final

Tangente vertical en un punto Pendientes de las rectas tangentes que pasan por P(0, 0) y Q(h, f(h)) f(0 + h) – f(0) h h1/3 – 0 h 1 h2/3 mPQ = = = Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiende a infinito: la derivada no existe, ya que por definición ha de ser finita Final

Función derivada Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: f(x) = x2 Final Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: f(x) = x2 Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: f ´(x) = 2x Para obtener la derivada en el punto x Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, a una nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en el punto x, siempre que ésta exista. La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están en Dom(f)

Derivada de las operaciones con funciones (I) Final Derivada de una constante por una función Si c  R y f es una función derivable en x  R la función cf es derivable en x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, es decir(cf)'f = cf´(x) Derivada de la suma y diferencia de funciones Si f y g son dos funciones derivables en x  R, las funciones (f + g) y (f – g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de las derivadas de cada una de ellas: ( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x) Derivada de f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, ... Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es el producto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1: f ' (x) = n xn-1 Derivada del producto de funciones Si f y g son dos funciones derivables en x  R, la función f . g es derivable en x y su derivada es: (fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)

Derivada de las operaciones con funciones (II) Final Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena. Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la función compuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es (g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x) Derivada de la función logarítmica La función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es: f '(x) = 1/x Derivada de la función exponencial La función f(x) = ex tiene derivada en x R y su derivada es. ç f '(x) = ex Derivada de la función potencial La función f(x) = xa tiene derivada en todo x (0, ) y su derivada es f ' (x) = axa-1

Derivada de las funciones trigonométricas Final Derivada de las funciones trigonométricas Derivada de la función seno La función f(x) = sen x tiene derivada en todo x  R y su derivada es f ' (x) = cos x Derivada de la función coseno La función f(x) = cos x tiene derivada en todo x  R y su derivada es f ' (x) = – sen x Derivada de la función tangente La función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cos x  0, es decir para x  p/2 + kp. En dichos puntos se tiene f ' (x) = 1/cos2x

Tabla de derivadas de las funciones elementales Función Derivada f(x) = c (constante) f '(x) = 0 f(x) = x n f '(x) = n xn – 1 f(x) = e x f '(x) = ex f(x) = a x (a > 0) f ' (x) = a ln a f(x) = ln x f '(x) = 1 f(x) = loga x, (a > 0) x ln a Función Derivada f(x) = sen x f '(x) = cos x f(x) = cos x f '(x) = – sen x f(x) = tan x 1 Cos 2 x f(x) = arcsen x 2 f(x) = arccos x x2 f(x) = arctan x 1 + x2

Tabla de derivadas (y = f(x) y u son dos funciones reales de variable real. Continuas)

Tabla de derivadas

Crecimiento y derivadas x ( a ) b f '(x) = tg a > 0 x (a, b) Función creciente en (a, b) Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positiva en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente en (a, b) Final

Decrecimiento y derivadas x ( a ) b f '(x) = tg a < 0 x (a, b) Función decreciente en (a, b) Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativa en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b) Final

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA MONOTONÍA EJEMPLO:

Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = 2x 1 + x2 Final y ' = 2(1 - x)(1 + x) 1 + x2 1 + x2 2(1 - x)(1 + x) = 0 ; x = 1  Siempre positivo -1 1 y’ < 0 y’ > 0 y’ < 0 Decreciente: (, -1)  (1, ) Creciente: (-1, 1)

Extremos relativos y derivada segunda máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) f " (b) < 0 f ' (b) = 0 a b f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' (a) = 0 f " (a) > 0 mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0 Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p Final

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS

CURVATURA Y PUNTOS E INFLEXIÓN

CURVATURA

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EJEMPLO:

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CURVATURA EJEMPLO:

PUNTOS CRÍTICOS

EJEMPLOS:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS EJEMPLO:

Problemas de optimización (I) Costa Final B A 7 km. 3 km. 10 km. Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible

Problemas de optimización (II) 3 km. 7 km. 10 km. Final mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = = ACB C X 10 - X A' 3 x 7 10 -x =  x = 3 ¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?