El plano cartesiano y las gráficas Presentación 4 MATE 3011

Coordenadas Rectangulares Es un sistema para asignar un par ordenado (a, b) de números reales a cada punto en el plano. Se basa en dos líneas perpendiculares llamadas eje de x y eje de y. La intersección de los dos ejes se llama el origen. Dividen el plano en cuatro cuadrantes ,I-IV. Cada punto P en el plano corresponde a un par ordenado (a, b) , como mostramos:

Diagramas Cuadrantes Muestra de coordenadas Q P Notar los puntos P y Q. ¿Cuál punto tiene coordenadas − 5 ,0 ? ¿Cuál punto tiene coordenadas 2 , 2 ?

Gráfica de una Ecuación Una solución de una ecuación en dos variables es un par ordenado de números tales que la sustitución del primero en x y el segundo en y produce un enunciado cierto. La gráfica de una ecuación es la imagen del conjunto de todas las soluciones de una ecuación.

¿Es solución de la ecuación? (1, -2); 3x – y – 5 = 0 3(1) – (-2) - 5 = 0 (Reemplazar valores de x, y) 3 + 2 – 5 = 0 5 – 5 = 0 0 = 0 (Se produce un enunciado cierto.) (1, -2) sí es solución.

¿Es solución de la ecuación? (-2, -1); 2x2 – 3y + x – 3 = 0 2(-2)2 – 3(-1) + (-2) – 3 = 0 (Reemplazar valores de x, y) 2(4) + 3 – 2 – 3 = 0 8 – 2 = 0 6 ≠ 0 (Se produce un enunciado FALSO.) (-2, -1) NO es solución.

Localización de puntos Una forma de esbozar (“sketch”) la gráfica de una ecuación es localizar suficientes puntos (soluciones), hasta obtener una imagen clara de la forma de la gráfica. Por ejemplo, hagamos un boceto de la gráfica de la ecuación lineal: y = 2x – 1 . Elegimos algunos valores para x: x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Construimos la lista de valores correspondientes de y en una tabla (tabla de valores).

Localizando puntos (continuación) Completa la tabla Localiza los puntos en un plano Observa y continúa el patrón Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma típica de una ecuación lineal.

Otro ejemplo Haga un boceto de la gráfica de y = x2 – 3 Elegir unos valores y completa la tabla con los valores correspondientes de la y Localiza los puntos en un plano cartesiano:

Ejemplo (continución) El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la derecha de este punto, podemos notar que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande. A la izquierda del (0, 3), notamos q a medida que x se hace más pequeño, y se hace más grande.

Ejemplo (continución) Unimos los puntos con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que observas. Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola. Es la forma típica de una ecuación cuadrática.

Interceptos de una gráfica

Identificar los interceptos en la gráfica int – y: (0, -10) int – x: (-5, 0) (2.5, 0)

Ejemplo Hallar los interceptos de 2x – 3y – 6 = 0 Para hallar los interceptos en x, ponemos y= 0 resolvemos para x: 2x – 3 (0) – 6 = 0 2x – 6 = 0 2x = 6  𝑥= 6 2 El intercepto en x es (3, 0) Para hallar el intercepto en y, ponemos x= 0 resolvemos para y: 2 (0) – 3y – 6 = 0 -3y = 6 y = -2 El intercepto en y es (0, -2)

Ejemplo Hallar los interceptos de y =2 x2 – 7x + 5 Para hallar los interceptos en x, ponemos y=0 y resolvemos: 0 = 2 x2 – 7x + 5 0 = (2x – 5)(x – 1) Los interceptos en x son 𝑥= 5 2 𝑥=1 5 2 ,0 (1,0) El intercepto en y es (0, 5) , ya que y = 5 when x = 0 .

Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2 Hallar los interceptos intercepto en y (poner x = 0) y = 9 – 4(0)2 = 9 int-y es (0,9) interceptos en x (poner y = 0) 9 – 4x2 = 0 (3 – 2x)(3 + 2x) = 0 (3 – 2x) = 0 cuando x = 3 2 ; (3 + 2x) = 0 cuando x = − 3 2 int - x son 𝟑 𝟐 ,𝟎 𝒚 − 𝟑 𝟐 ,𝟎

Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2 Elige unos valores y completa la tabla con los valores correspondientes de la y Tenemos además los int-x: 𝟑 𝟐 ,𝟎 𝒚 − 𝟑 𝟐 ,𝟎 Localiza los puntos en un plano cartesiano:

Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2 Localiza los puntos en un plano cartesiano: El punto (0, 9) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la derecha de este punto: a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño. A la izquierda del (0, 9): a medida que x se hace más pequeño, y se hace más pequeño.

Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2 Localiza los puntos en un plano cartesiano: Unir los puntos con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que se describió.