12 Sesión Contenidos: Función logarítmica. Elementos de la función logarítmica. Gráfico de función logarítmica en el plano cartesiano. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Primer Semestre 2012

Aprendizajes esperados: Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la gráfica y determina asíntotas, a partir de la función logarítmica dada algebraicamente. Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan logarítmicamente.

Por ejemplo, sabemos que 103 = 1000, luego log101000=3. La función logarítmica: La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial con base b. Es decir, el logaritmo de base b de un número x es el exponente al cual debe elevarse la base b para obtener el mismo número x. f (x) = 10x f (x) = log10x y = logb x ↔ by=x Por ejemplo, sabemos que 103 = 1000, luego log101000=3.

Aplicación de la función logarítmica: El pH, o potencial hidrógeno, indica el grado de acidez de una solución o la concentración de iones de H que posee y se define matemáticamente como el logaritmo negativo de la actividad de los iones hidrógeno: pH = −log [H] donde [H] denota la concentración de iones de hidrógeno. Este sistema se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas.

Aplicación de la función logarítmica: La concentración de H3O+ de 0.00000004 molar equivaldría a tener un pH de 7,4. Al emplear la fórmula obtenemos: pH = —log10 [0.00000004] = —[-7.4] = +7.4. El hecho que una función logarítmica sea la inversa de una función exponencial, significa que la acción que una de ellas realiza sobre un número, la otra función elimina esa acción: log10(10x)=x

Aplicación de la función logarítmica: Hay que entender que una solución con pH de 6 tendrá 10 veces más hidronios que una con pH de 7. El pH no cambia de una manera aritmética, si no de una manera exponencial pH 1 = 127,35 m pH 2 = 12,735 m pH 3 = 1,2735 m

Aplicación de la función logarítmica: Otro ejemplo que ocupa una escala logarítmica es la escala de Richter, la cual cuantifica la magnitud de un terremoto. Esta escala mide la energía del terremoto en el hipocentro o foco El Richter sigue una escala de intensidades que aumenta exponencialmente de un valor al siguiente. Valor en la escala de Richter Amplitud máx. de las ondas (en milésimas de milímetros) 3 1.000 (1 mm) 4 10.000 (1 cm) 5 100.000 (10 cm) 8 100.000.000 (100 mt)

Aplicación de la función logarítmica: Equivale a la décima parte de un bel. Una unidad de referencia para medir la potencia de una señal o la intensidad de un sonido. El nombre bel viene del físico norteamericano Alexander Graham Bell (1847-1922). El decibel es una unidad relativa de una señal, tal como la potencia, voltaje, etc. Los logaritmos son muy usados debido a que la señal en decibeles (dB) puede ser fácilmente sumada o restada y también por la razón de que el oído humano responde naturalmente a niveles de señal en una forma aproximadamente logarítmica.

Aplicación de la función logarítmica: Fórmula En donde I es la potencia a estudiar, en vatios (variable), Io es el valor de referencia, igual a 10 − 12 w*m-2 y log es el logaritmo en base 10 de la relación entre estas dos potencias. Este valor de referencia se aproxima al umbral de audición en el aire.

→ → → Aplicación de la función logarítmica: Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente, debe ser I más grande para que dB alcance este nivel ? → → →

Aplicación de la función logarítmica natural: Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias, durante los primeros instantes, tiene un comportamiento exponencial. Es decir, si N0 es el población inicial de bacterias, entonces a tiempo t, el número de bacterias sería: N(t) = N0 ek t Donde k = 0,4 siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique? ln(ex) = x