ESTUDIEMOS SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Sucesión: una sucesión de números Reales, es un tipo especial de función, cuyo Dominio es el conjunto de números Naturales “N” y su Recorrido es otro conjunto, el de números Reales. Se representa por 𝑓 𝑛 Si el número de elementos que forman la sucesión es finito, la sucesión se llama SUCESION FINITA, de lo contrario es una SUCESION INFINITA.

CASO I: Cuento con el término general de la sucesión. SUCESION ARITMETICA: se dice que una sucesión es Aritmética cuando la diferencia entre un término cualquiera y su anterior es una constante Ejemplo: 1, 3, 5, 7, 9, 11,… Demostremos que la sucesión es Aritmética; 3 – 1 = 2 ; 5 – 3 = 2 ; 7 – 5 = 2 ; 9 – 7 =2 ; 11 – 9 = 2 Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general es: 𝑓 𝑛 = (1−𝑛) 𝑛 El primer término: 𝑎 1 = (1−1) 1 =0 El segundo término: 𝑎 2 = (1−2) 2 =1 El tercer término: 𝑎 3 = (1−3) 3 = −8 El cuarto término será: ___________ El quinto término es: _____________ Resuelve uno y consúltalo con tu encargado. 𝑓 𝑛 = 6n + 11 Encuentra los primeros cinco términos. CASO I: Cuento con el término general de la sucesión.

CASO II: no cuento con el termino general Encontrar el Término General de la siguiente sucesión: 1, 7, 13, 19, 25. En este caso debes utilizar la forma general de una sucesión aritmética: 𝑓 𝑛 =𝑎+(𝑛−1)𝑑 donde 𝑓 𝑛 = 𝑎 𝑛 1º Obtén el intervalo “d”: 7 – 1, 6 = d 2º contamos con el primer término: 𝑎 1 =1 3º resolvamos: 𝑓 𝑛 =𝑎+(𝑛−1)𝑑 𝑓 𝑛 =1+(𝑛−1)6 𝑓 𝑛 =1+6𝑛−6 𝑓 𝑛 =−5+6𝑛 Resuelve el siguiente: -89, -78, -67, -56, -45

Otra forma de hacerlo: La primera parte del termino general se obtiene multiplicando « n » por la diferencia que hay entre los términos consecutivos. d = 6 n x 6 = 6n. La otra parte: sustituir n = 1 entonces debe resultar el primer termino de la sucesión que es 1. 1 x 6 = 6 Si no sucede esto por una diferencia en exceso o defecto entonces resultado de n x 6 se le suma o se le resta según el caso esa diferencia. Como el primer termino es 1 y resulta 6 debo restar 5 para obtener el primer termino así: 𝑓 𝑛 = 6n -5

CASO III. Cuando no se cuenta con el termino general de la sucesión ni términos consecutivos. En una sucesión aritmética, cuando el intervalo “d” es 2 y el octavo termino 𝑎 8 =4, Encontrar el cuarto termino 𝑎 4 . El término general de la sucesión es 𝑓 𝑛 = 𝑎 1 +(𝑛−1)𝑑 Contamos con el intervalo “d” = 2 y el octavo termino 𝑎 8 =4, además n = 8 términos. Resolvamos entonces: 𝑎 𝑛 =𝑎+(𝑛−1)𝑑 𝑎 8 =𝑎+ 8−1 2 4=𝑎+ 7 2 4=𝑎+14 4−14 = 𝑎 −10 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 Conociendo el primer término podemos encontrar el cuarto término como se nos pide: 𝑓 𝑛 =𝑎+(𝑛−1)𝑑 𝑎 4 =−10+(4−1)2 Sustituyendo los datos ya conocidos. 𝑎 4 =−10+(3)2 Resolviendo paso a paso. 𝑎 4 =−10+6 𝑎 4 =−4 El cuarto término es -6 ahora escribe la totalidad de términos: -10, ___, ___,

ahora puedes calcular el termino general Resuelve uno: En una sucesión aritmética, el primer término es 𝑎 1 = −5 y el decimo término es 𝑎 10 =22, encontrar el intervalo “d”, y el termino general 𝑎 𝑛 , luego encuentra el quinto termino 𝑎 5 y el vigésimo termino 𝑎 20 . El término general de la sucesión es 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +(𝑛−1)𝑑 , Si tienes 𝑎 1 = −5 y 𝑎 10 =22 , tienes n = 10, entonces sustituyendo: Solución: 𝑎 10 =−5+ 10−1 𝑑 22=−5+9𝑑 22+5=9𝑑 27 =9𝑑 d = 27 9 d = 3 ahora puedes calcular el termino general

Resuelve los siguientes ejercicios: Encontrar el termino general de la sucesión siguiente: 1.- 5, 7, 9, 11, 13 … 2.- 5 6 , 7 6 , 9 6 , 11 6 , 13 6 … 3.- 𝑓 𝑛 = 2n – 3 4.- 𝑓 𝑛 = 1+ (−1) 𝑛 2 𝑛

INTERPOLACION DE MEDIOS ARITMETICOS Cuando hablamos de interpolación de medios aritméticos es simplemente el proceso de colocar entre dos números reales dados, un numero especifico de términos, que juntos con los dados originalmente pertenecen a una sucesión aritmética. Ejemplo 1:Interpolar tres medios aritméticos entre 17 y 41. El término general de la sucesión es: 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +(𝑛−1)𝑑 Datos: a1 = 17 a5 = 41 n = 5 d = ? Entonces tenemos que: 41=17+ 5−1 𝑑 41=17+4𝑑 41−17=4𝑑 24=4𝑑 𝑑= 24 4 𝑑= 6

Resuelve algunos, deja constancia de ellos, como procedimientos: Interpolar 11 medios aritméticos entre 6 y 108. Interpolar 4 medios aritméticos entre 15 y 40. Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 3 y 25 3 . Interpolar 6 medios aritméticos entre 3 5 y 20

Suma de los n primeros términos de una sucesión Aritmética. Calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética es bastante sencillo, porque en toda sucesión se cumple que: «La suma del primero y el último término es igual a la suma del segundo con el penúltimo, a la suma del tercero con el antepenúltimo y a la suma de dos términos cualesquiera que equidisten de los valores extremos.» Para resolver un problema de suma de los n términos de una sucesión aritmética aplique la ruta de solución siguiente: Identifica el primer término a1 Encuentra el termino general de la sucesión. 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +(𝑛−1)𝑑 Identificar el último término an Aplica la Formula: Sn = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 . n