Poliedros y Cuerpos redondos La palabra poliedro (Πoλυεδρos) deriva de los términos griegos Πoλυs (mucho) y εδρα (plano).

CUERPOS SÓLIDOS Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos? b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características. c. Señala 3 objetos reales que sean poliedros.

POLIEDROS Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

Ángulos diedros Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.

Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc. Al punto común se le llama vértice.

Actividad Observa los siguientes poliedros. Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son? A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos.

Actividad En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos. a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo? Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

FÓRMULA DE EULER (1750) En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla. ¿Encuentras alguna relación entre C, V y A?

CONCLUSIÓN C + V = A + 2 Carlos V es Austría II En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2 Carlos V es Austría II

Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer: ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? Une dos vértices que no están en la misma cara. ¿Y el plano diagonal? Contiene dos diagonales ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas 1. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. 2. Las caras de un poliedro son todas iguales. 3. Hay poliedros con tres caras. 4. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. 5. Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. 6. Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. 7. El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. 8. El cilindro es un poliedro.

POLIEDROS REGULARES Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales. Si quieres comprobarlo, fíjate en el número de caras, de vértices y de aristas de cada uno de los siguientes poliedros regulares: Sólo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

TETRAEDRO REGULAR Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. FUEGO

OCTAEDRO REGULAR Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. AIRE

ICOSAEDRO REGULAR Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. AGUA

HEXAEDRO REGULAR O CUBO Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. TIERRA

DODECAEDRO REGULAR Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. EL UNIVERSO

Un desarrollo de cada sólido platónico Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

Poliedros en la vida cotidiana

PRISMAS Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras laterales son paralelogramos. Los elementos de un prisma son los siguientes: Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta. Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario. La altura de un prisma será el segmento de perpendicular a las bases comprendido entre estas. Si la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará triangular; si es un cuadrado, se llamará cuadrangular, etc.

Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de ortoedro.

PIRÁMIDES Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamado pirámide. Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Los elementos de una pirámide son los siguientes: La base: es la cara en la que se apoya la pirámide. Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide. Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal...

Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas. Así, hay pirámides rectas y oblicuas, según que el centro del polígono de la base coincida o no con el pie de la altura de la pirámide, y regulares e irregulares, según que el polígono de la base sea o no regular. Así mismo, según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

TRONCO DE PIRÁMIDE Si cortamos una pirámide por un plano, obtenemos un tronco de pirámide, que será recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Fíjate en que las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios y cuando éste es regular, entonces los trapecios son isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide. Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

Cuerpos redondos Una lata de refresco, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos: cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

Cilindro Las columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar o el rulo de una apisonadora son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Si cortamos el cono por su superficie lateral y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

Cono El cucurucho de un helado y el tejado de una choza son ejemplos de conos. El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Si cortamos el cono por su superficie lateral y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

Esfera Una pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio. LA ESFERA TERRESTRE Como la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos), la llamamos la esfera terrestre. En ella podemos trazar unas líneas imaginarias, que nos permitirán precisar la posición de cualquier punto sobre ella, por ejemplo, la situación de tu pueblo o ciudad. Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los meridianos.