Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA

Presentación del tema: "Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA"— Transcripción de la presentación:

1 Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA
PROFESOR: Felipillo Asmad

2 CUERPOS SÓLIDOS Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

3 Actividad ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

4 DEFINICIÓN Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

5 Actividad Observa los siguientes poliedros.
Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

6 DEFINICIÓN A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

7 Actividad En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos. a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

8 CONCLUSIÓN En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2

9 ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro?
Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer: ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal? ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

10 POLIEDROS REGULARES Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto ( a. de C.)

11 DEFINICIÓN Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

12 Un desarrollo de cada sólido platónico
Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

13 PRISMA Felipillo no te olvides del video :D Un prisma es un poliedro limitado por dos caras congruentes y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

14 Prisma recto Prisma recto Prisma oblicuo
Ejemplos: A B C D E F G H I J Prisma recto Prisma recto Prisma oblicuo

15 PRISMA REGULAR: Ejemplo:
Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares Ejemplo:

16 Alateral= perímetro x h
AREA LATERAL DE UN PRISMA RECTO El área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Ejemplo: a h = h a a a a a Alateral= perímetro x h

17 Atotal = Alateral +2Abase
AREA TOTAL DE UN PRISMA Se obtiene sumando al área lateral las áreas de las bases Ejemplo: a h a h + = Atotal = Alateral +2Abase

18 V= Abase x h VOLUMEN DE UN PRISMA h h a a
El volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por su altura. h h a a V= Abase x h

19 Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

20 Ejercicios

21 Problema 1 Área lateral = (Perímetro).(altura) 4 3 5 Área lateral = (3+4+5).10 = 120 10 4 3 5

22 Problema 2 13 13 12 5 5 12 13 13 Área de la base = 120 Volumen = Volumen = (Área de la base).(altura) = 2880

23 Problema 3 6 8 5 5 3 4 6 4 Área lateral = ( ).8 = 240

24 Problema 4 a 2 13 2a 2a 3a Pitágoras: (3𝑎) 2 + (2𝑎) 2 = ( ) 2 9 𝑎 2 +4 𝑎 2 = 13 𝑎 2 = 4.13 𝑎 2 = 4 𝑎 =2 Volumen: 2a . 3a . a = 48

25 Problema 5 a c b Reemplazaremos en el siguiente producto notable: (𝑎+𝑏+𝑐) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 +(2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐) (12) = Área total = Área total

26 Problema 6 37° 10 6 3k = 15/2 8 37° 10 = 4k 5/2 = k Área lateral = ( ).(15/2) = 210

27 Problema 7 2 2 3 10 1 1 2 2 Área de la base = = 3 2 Volumen = =10 3

28 4 Problema 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 12 2 2 Área de la base = =24 3 Volumen = =288 3

29 Problema 9 Área lateral = 16.6 = 96 6 4 4 4 4

30 Problema 10 1 D 2 2 2 D 1 2 2 2 Pitágoras: (2 2 ) = 𝐷 2 = 𝐷 2 3 = 𝐷

31 Problema 11 Área total = Área lateral + 2 Área de la base 4 3 5 Área lateral = (3+4+5).(2,5) = 30 2,5 Área de la base = (3.4)/2 = 6 4 Área total = 3 = 42 5

32 Problema 12 Área lateral = ( ) . 24 = 1152 24 12 12 12 12

33 Problema 13 8 6 10 Área de la base = (6.8)/2 = 24 12 Volumen = 24. 12 = 288 8 6 10

34 Problema 14 Pitágoras: 𝑎 2 + 𝑎 2 = ( ) 2 2 𝑎 2 = 𝑎 2 = 100 𝑎 = 10 Área lateral = ( ) . 30 = 1200 30 Área de la base = = 100 a Área total = 10 2 a = 1400 a a

35 Problema 15 Datos: 2a + 2b = 34 a . b = 60 a = 5 D = 85 13 4D = 340 a + b = 17 Entonces: b = 12 a = 5 b = 12 D = 85 c Pitágoras: 𝑐 = 85 2 𝑐 = 7225 𝑐 2 = 7056 𝑐 = 84 Hallando el volumen V = a . b . c = 5040

36 Problema 16 2,8m 3cm x Sabiendo que un metro es cien centímetros Tenemos que: 3 cm = 0,03 m Volumen: (0,03) . (x) . (2,8) = 0,45 (3) . (x) . (28) = 450 x = 5,36 m

37 Problema 17 c c b a a b a . b = 8 Nos piden el volumen del paralelepípedo rectangular: V = a . b . c b . c = 10 a . c = 6 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 =480 𝑎.𝑏.𝑐= 480

38 Área lateral = (𝑎 + 𝑎 +2 𝑎 +2 𝑎) . 6
Problema 18 Dato: Área total = 144 6 D Área lateral = (𝑎 + 𝑎 +2 𝑎 +2 𝑎) . 6 3 = a 3 5 = 36 𝑎 x a Área de la base = 𝑎.(2𝑎) 2a = 6 = 2 𝑎 2 Sabemos que: Área total = Área lateral + 2(Área de la base) Pitágoras: 6 2 + (3 5 ) 2 = 𝐷 2 = 𝐷 2 81 = 𝐷 2 𝐷 = 9 = 𝑎 (2 𝑎 2 ) = 𝑎 𝑎 2 = 4 𝑎 a - 144 = 𝑎 𝑎 𝑎 12 𝑎 −3 Entonces: 𝑎=3

39 Problema 19 6 3 3 3 3 a a a a a Pitágoras: (3𝑎) 2 + (3 3 ) 2 = 6 2 9 𝑎 = 36 9 𝑎 2 =9 𝑎 2 = 1 𝑎 = 1 Volumen = (Área de la base) . (altura) a = = 9 4

40 Problema 20 Echando el paralelepípedo rectangular: 6 6 24 24 Volumen del paralelepípedo rectangular = = 144 6 Volumen del prisma triangular = 144/2 = 72

41 Problema 21 Pitágoras: 𝑎 (4 3 ) 2 = 𝑎 2 𝑎 = 𝑎 2 𝑎 = 4𝑎 2 3𝑎 2 = 192 𝑎 2 = 64 𝑎 = 8 a a 4 3 a/2 a/2 5 Volumen = (Área de la base) . (altura) a = a = 80 3 a