/47 Sistemas dinamicos Realimentacion de la salida 1

/47 Contenido 1.El estimador de estado 2.El observador de orden reducido 2

/47 EL ESTIMADOR DE ESTADO 3

/47 El observador de estado l El control por realimentacion de estados asume la disponibilidad de todas las variables de estado. »En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, ya sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy dificil o muy caro medirlos. 4

/47 El observador de estado l A fin de implementar una realimentacion de estados debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico cuya salida sea una estimacion del vector de estados: 5 El observador de estados es una estimacion de x

/47 Arquitectura del control 6 Se usa una estimacion del estado para generar el control Se asume el sistema conocido, con D = 0 Resultados validos si remplazando y(t) por

/47 El observador a lazo abierto l Usando solo la entrada para exitar el estimador de lazo abierto l Si el sistema y el observador tienen las mismas condiciones iniciales, entonces, para, para cualquier entrada 7 Conociendo A y B, duplicar la ecuacion de estados original Idea:

/47 Calculo del estado inicial Si el sistema es observable, su estado inicial x(0) puede ser calculado de u y y en cualquier intervalo de tiempo, por ejemplo, [0, t 1 ]. 8 ¿Como hallar el estado inicial x(0) del sistema para usarlo en el observador?

/47 Calculo del estado inicial l Pasos a implementar en el observador: 1.Calcular el estado inicial x(0) 2.Calcular el estado en t 2 y hacer 9 Entonces: para todo t  t 2. ¿algun problema?

/47 Dinamica del error l La ecuacion del error de estimacion esta dada por Si A es Hurwitz, entonces → 0 cuando t → ∞. 10 Por lo tanto, la dinamica del error esta completamente determinada por la dinamica en lazo abierto del sistema (los valores propios de la matriz A).

/47 Limitaciones del observador a lazo abierto l El observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas: l Aun con la matriz A estable, esta dinamica pudiera ser muy lenta. Si A tiene autovalores con parte real positiva, »entonces cualquier pequeña diferencia entre y para algun t 0, causada por un disturbio o una imperfeccion en la estimacion del estado inicial, hara que: 11 crezca con el tiempo

/47 El observador a lazo cerrado l Observador a lazo cerrado = estimador asintotico 12 A, B and C son conocidos l Usando la entrada y la salida

/47 El observador a lazo cerrado l Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico 13 A, B and C son conocidos l El error de estimacion de la salida, pasando por una ganancia constante L, es usado como un termino de correccion. l Si el error es cero, no es necesaria ninguna correcion.

/47 El observador a lazo cerrado l Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico 14 Forma simplificada l Si la diferencia no es cero y si la ganancia L se diseña apropiadamente, la diferencia llevara al estado estimado a su estado real A, B and C son conocidos

/47 El error de estimacion l El estado verdadero: l El estado de estimado: l El error de Estimacion: l La dinamica del error Si todos los autovalores de (A  LC) pueden ser asignados arbitrariamente, podemos controlar la velocidad con que el error de estimacion se aproxima a cero 15 No hay necesidad de calcular el estado inicial de la ecuación de estado original.

/47 Teorema l Teorema de la asignacion de Autovalores en observadores l Considere el par (A, C) l Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. 16

/47 Teorema l Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. 17 Prueba: Recurriendo a la dualidad controlabilidad/observabilidad, el par (A, C) es observable si y solo si (A T, C T ) es controlable. Si (A T, C T ) es controlable todos los autovalores de (A T  C T K) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (A T  C T K) es (A  K T C) y por lo tanto, hacemos L = K T.

/47 Teorema l Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. 18 Si (A T, C T ) es controlable todos los autovalores de (A T  C T K) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (A T  C T K) es (A  K T C) y por lo tanto, hacemos L = K T. El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.

/47 Dinamica del estado en lazo cerrado l Definiendo el estado del sistema aumentado, en lazo cerrado l Partiendo de las ecuaciones 19

/47 Dinamica del estado en lazo cerrado l Dinamica del estado, en lazo cerrado l Dinamica del error 20

/47 Dinamica del estado en lazo cerrado l Dinamica del sistema aumentado 21

/47 Diseño del observador l Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de l Se pueden obtener los autovalores deseados de A – BK seleccionado la ganancia de realimentacion l Se pueden obtener los autovalores deseados de A – LC seleccionado la ganancia del observador l Esta es la propiedad de la separacion: la solucion en dos diseños separados 22

/47 Procedimiento de diseño del observador l Obtener el par (A T, C T ). Si el par es controlable continuar l Elegir los valores propios deseados del observador en lazo cerrado l Usando (A T, C T ), calcular la matriz de realimentacion K mediante el procedimiento para la asignacion de autovalores, via la forma canonica. »O con la funcion K = place(A,B,P) de MATLAB l Obtener L = K T 23

/47 Ejemplo 24 Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro

/47 Ejemplo 25 Comprobamos si el par (A T, C T ) es controlable desde la primera salida sysO = ss(A',C',C,D) Q = ctrb(sysO) matlab

/47 Ejemplo 26 Se seleccionan los autovalores deseados del observador escogidos por las propiedades de la respuesta Polinomio caracteristico deseado en lazo cerrado

/47 Ejemplo 27 Polinomio caracteristico en lazo abierto Ganancia del observador, para el sistema en la forma canonica

/47 Ejemplo 28 La ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, Finalmente

/47 Ejemplo 29 El observador

/47 Ejemplo 30 El observador con realimentacion Para

/47 Ejemplo 31 Comparacion

/47 EL OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO 32

/47 El observador de orden reducido l Se supondra, ahora, que q de los n estados del sistema pueden ser medidos en forma directa. »Estos estados se agrupan en el vector »mientras que los restantes n − q estados se agrupan en »La ecuacion de estado original 33 C tiene rango completo de fila

/47 El observador de orden reducido l Definiendo l l Por la transformacion 34 R is una matriz arbitraria (n  q)  n

/47 El observador de orden reducido Todos los estados x 1 son accesibles. Solo necesitan ser estimados los ultimos n  q elementos de l Usando, tenemos l Definiendo, 35  En la ecuacion de salida se ha puesto de manifiesto que todos los estados x 1 son accesibles y seran tomados como salidas para su realimentacion

/47 Realimentacion de los estados estimados Si (A, C) es observable, puede ser construido un estimador completo o de orden reducido con valores propios arbitrarios Si las variables de estado NO estan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado 36

/47 Realimentacion de los estados estimados l Realimentacion de estado: Ecuacion de la salida: y = Cx l Ecuacion de estado: l El estimador de estado 37

/47 Transformacion equivalente 38 La matriz A es triangular a bloques; por lo tanto sus valores propios son la union de aquellos de (A  BK) y (A  LC)

/47 Caracteristicas l La insercion del estimador de estado no afecta a los autovalores de la realimentacion de estado original; ni los autovalores del estimador de estado son afectados por esta condición. l El diseño de la realimentación de estado y el diseño de estimator de estado pueden llevarse a cabo de forma independiente. Esta es llamada la propiedad de separación. 39

/47 Caracteristicas l La ecuacion de estado resultante no es controlable y la funcion de transferencia es igual a l Esta es la funcion de transferencia del sistema realimentado original sin usar el estimador de estado l El estimador es completamente cancelado en la funcion de transferencia desde r a y 40

/47 Ejemplo 41 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en  1 y  2. Solucion:

/47 Ejemplo 42 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en  1 y  2. Realimentacion de estado:

/47 Ejemplo 43 Sistema original: Sistema realimentado:

/47 Ejemplo 44 Solucion: Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en  4 y  5.

/47 Ejemplo 45 Es estimador de estado: Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en  4 y  5.

/47 Bibliografia l A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces math332/notes.shtml math332/notes.shtml l Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley,

/47 FIN 47