Séptima Sesión Postulados de la Mecánica Cuántica

Resumen Parámetros característicos de las ondasParámetros característicos de las ondas Espectro electromagnéticoEspectro electromagnético Espectros de absorción y de emisión de los átomosEspectros de absorción y de emisión de los átomos Radiación de un cuerpo negroRadiación de un cuerpo negro Efecto fotoeléctrico: fotónEfecto fotoeléctrico: fotón CuantizaciónCuantización

Resumen 2 Modelo Atómico de BohrModelo Atómico de Bohr –Átomos hidrogenoides. –Es un modelo nuclear. –Cuantización del momento angular del electrón. –Cuantización del radio de las órbitas –Cuantización de la energía del electrón. –Niveles de energía. –Energías de ionización. –Transiciones electrónicas. Espectros.

Resumen 3 Antecedentes de la Teoría Cuántica ModernaAntecedentes de la Teoría Cuántica Moderna –Hipótesis de De Broglie –Principio de Incertidumbre de Heisenberg

Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible”“Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2,…,x N,y N,z N,t)

Comentario Ψ es una función de 3N+1 variablesΨ es una función de 3N+1 variables Todas la información acerca de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la función de onda Ψ correspondiente a dicho estadoTodas la información acerca de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la función de onda Ψ correspondiente a dicho estado.

Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo“Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo Ψ(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2,…,x N,y N,z N ) y se llama función de onda de estado estacionario” (3N variables).

Comentario Es el caso de la energía en un átomo.Es el caso de la energía en un átomo. Los átomos no están irradiando energía, de tal manera que no depende del tiempo.Los átomos no están irradiando energía, de tal manera que no depende del tiempo.

Postulado 2 “Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda”“Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda”

Observables Observable es toda propiedad del sistema que se pueda medir, por ejemplo: la energía, el momento, la energía cinética; etc.Observable es toda propiedad del sistema que se pueda medir, por ejemplo: la energía, el momento, la energía cinética; etc.

Operadores TransformacionesTransformaciones Regla de asociación entre A y BRegla de asociación entre A y B Si A números y B números: Función.Si A números y B números: Función. Si A funciones y B números: Funcional.Si A funciones y B números: Funcional. Si A funciones y B funciones: Operador.Si A funciones y B funciones: Operador. AB

Operadores: Ejemplos

Extráigase la raíz cuadrada de la función f(x).Extráigase la raíz cuadrada de la función f(x).

Operadores: Ejemplos

Derívese la función f(x) con respecto a la variable x.Derívese la función f(x) con respecto a la variable x.

Operadores: Ejemplos

Intégrese la función f(x) con respecto a la variable x.Intégrese la función f(x) con respecto a la variable x.

Por cierto

Operadores: Ejemplos

Multiplíquese la función f(x) por la variable x.Multiplíquese la función f(x) por la variable x.

Operadores: Ejemplos

Multiplíquese la función f(x) por la constante c.Multiplíquese la función f(x) por la constante c.

Operadores (3) El operador es una orden o una receta a seguir.El operador es una orden o una receta a seguir. Esta orden se aplica a las funciones y lo que se obtiene es una nueva función.Esta orden se aplica a las funciones y lo que se obtiene es una nueva función.

Operadores (4) A los operadores se les pone sombrero.A los operadores se les pone sombrero. Si queremos saber el valor de la propiedad ASi queremos saber el valor de la propiedad A ÂΨ=aΨ Ecuación de valores propios o eigenvalores: Â es un operador, Ψ es una función y a es un número.Ecuación de valores propios o eigenvalores: Â es un operador, Ψ es una función y a es un número.

¿Cómo se contruyen los operadores en mecánica cuántica? 1.Se escribe la expresión clásica para el observable de interés en términos de coordenadas, momentos y tiempo. 2.Las coordenadas y el tiempo se dejan igual.

¿Cómo construir los operadores? (2) 3.Para coordenadas cartesianas las componentes del momento (p q ) se reemplazan por el operador diferencial 3.Para coordenadas cartesianas las componentes del momento (p q ) se reemplazan por el operador diferencial:

Ejemplo Energía cinética (T). Una partícula en coordenadas cartesianas.Energía cinética (T). Una partícula en coordenadas cartesianas. Expresión clásica:Expresión clásica:

Ejemplo (cont.) Poniendo p en términos de sus componentes:Poniendo p en términos de sus componentes:

Ejemplo (cont.) Substituyendo las componentes de acuerdo al paso (3), se obtiene el operador de energía cinética:Substituyendo las componentes de acuerdo al paso (3), se obtiene el operador de energía cinética:

El Hamiltoniano El operador más importante en mecánica cuántica es el operador de energía total y se conoce como operador de Hamilton o Hamiltoniano:El operador más importante en mecánica cuántica es el operador de energía total y se conoce como operador de Hamilton o Hamiltoniano:

El Hamiltoniano (2) El operador de energía potencial es un operador multiplicativo y solo depende de las coordenadas de la partícula:El operador de energía potencial es un operador multiplicativo y solo depende de las coordenadas de la partícula:

Ecuación de Schrödinger Como el Hamiltoniano es distinto para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema.Como el Hamiltoniano es distinto para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema.

Ecuación de Schrödinger (2) La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe resolverse para Ψ y para E.La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe resolverse para Ψ y para E. El problema de la “Química Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico.El problema de la “Química Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico.

Postulado 3 También se conoce como postulado de Born.También se conoce como postulado de Born. Max Born ( ).Max Born ( ). Premio Nóbel en 1954.Premio Nóbel en 1954.

Postulado 3 “El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”.“El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”.

Comentario Funciones discretas y funciones continuas.Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir.Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar?¿Qué es contar?

Comentario Funciones discretas y funciones continuas.Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir.Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar?¿Qué es contar? Contar es hacer una biyección con los naturales.

Comentario (2) Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (y por lo tanto, existe un continuo de valores).Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (y por lo tanto, existe un continuo de valores). En probabilidad:En probabilidad: –Discreto – Funciones de probabilidad discretas. –Continuo – Funciones de probabilidad o densidades de probabilidad. Las funciones de probabilidad determinan una distribución de las probabilidadesLas funciones de probabilidad determinan una distribución de las probabilidades

Función de probabilidad Número que sale al tirar 2 dadosNúmero que sale al tirar 2 dados

La probabilidad de todo el espacio es 1. P(S)=1

P(1), P(6), P(3  x  7), P(3<x  7), P(3  x<7), (3<x<7), P(-  x  )

Continua

Continua Probabilidad = Área bajo la curva

Continua

Continua Las probabilidades de puntos son cero, ya que

Continua Probabilidad de todo el espacio

Comentario (3) Ambas determinan una distribución de probabilidad.Ambas determinan una distribución de probabilidad.