UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE SOCIOLOGÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA MEDIDAS DE RESUMEN Profa.: Brenda Yépez-Martínez

Profa.: Brenda Yépez-Martínez MEDIDAS DE RESUMEN Profa.: Brenda Yépez-Martínez

Medidas de Tendencia Central Tema 2: Descripción Global de un Colectivo y Comparaciones desde la Perspectiva Univariable Proporciones, Porcentajes (por fila, por columna, general) Razones Construcción de Cuadros Estadísticos según su tipo Distribución de Frecuencias Medidas de Tendencia Central Media Aritmética Mediana Modo Medidas de Posición Cuartíl Decíl Percentíl Medidas de Dispersión Medidas de Dispersión Absolutas Medidas de Dispersión Relativas

Una de las funciones de los métodos estadísticos es la de resumir los datos de una serie de valores que permita evidenciar las características más importantes de dicha serie. Para ello es necesario convertir los datos de valores absolutos en valores relativos, esta conversión se hace necesario debido a que en términos de comparación, la utilización de los valores absolutos es inadecuada por contener diferentes tamaños en los grupos de estudio. Escala Nominal: Clasificación, Exhaustividad y Mutua Exclusión. Proporciones: son cocientes que indican la relación existente entre una cantidad (parte de un todo) y el total de las unidades consideradas; es decir, si se tiene la suma de varios sumandos, se denomina proporción al cociente de dividir uno de estos sumandos entre la suma total. La proporción no puede ser mayor que uno La proporción no puede ser menor que cero El máximo valor posible de la proporción será uno cuando el numerador y el denominador sean iguales El mínimo valor de la proporción será cero cuando el numerador del cociente sea cero o no existan elementos dentro de esa categoría. La suma de todas las proporciones referidas al mismo total debe ser igual a la unidad. P= A/N siendo N= A+a Q= a/N Tanto P como Q son proporciones complementarias: P+Q= 1 Porcentajes: la palabra porcentaje significa por ciento; por lo tanto, al utilizar los porcentajes normalizamos en relación con el volumen, calculando el número de objetos que habría en una categoría determinada si el total de los casos fuera 100, permaneciendo inalterada la proporción de cada categoría. Son proporciones multiplicadas por cien. P= A/N * 100 siendo N= A+a q= a/N*100 Tanto P como Q son proporciones complementarias: P+Q= 100% Porcentajes de Cambio:

Los porcentajes pueden calcularse tanto en sentido vertical como en sentido horizontal en una tabulación cruzada. Porcentaje de columna: Es la frecuencia de una casilla como un porcentaje del total marginal de columna. % columna (de ocurrencia conjunta)=No en una casilla/ No total en una columna(100) Porcentaje de fila: Es la frecuencia de una casilla como un porcentaje del total marginal de fila. % fila (de ocurrencia conjunta)= No en una casilla/ No total en una fila(100) Para la debida elaboración de los cuadros estadísticos es importante tomar en consideración la hipótesis y los objetivos de la investigación, así como también, las posibles relaciones entre las variables en estudio. H. BLALOK. Pág. 10. “Para los casos en que la propia teoría nos dicta cual es la variable que debe ser tomada como dependiente y cuál ha de ser considerada independiente, podrá bastarnos una regla empírica: Colocamos la variable independiente en el encabezado del cuadro y la variable dependiente al lado izquierdo o columna matriz, los porcentajes sumaran 100 hacia abajo, y las comparaciones se harán de izquierda a derecha”.

Razones: Es la relación entre dos categorías de una variable o un cociente entre el número de datos que poseen una característica y el numero de datos que posee otra característica. A= Número de individuos que poseen cierta característica a= Número de individuos que poseen otra característica La razón de los individuos que poseen a los que no la poseen viene expresada por la fórmula: R= A/a Tasas: Son casos particulares de las razones, en donde se mide una variable en función de la otra variable con la que se está relacionada, describiéndose cambios en el tiempo, es por ello que se diferencian de las razones, no son estáticas sino dinámicas.

__________________________________________________________Cuadros Estadísticos Un cuadro estadístico se puede definir como una disposición de datos numéricos cuya estructura esta conformada por filas, columnas y celdas de manera que se pueda apreciar la cuantía del fenómeno en estudio. Componentes o partes del cuadro estadístico que se deben tener en cuenta para su elaboración Título del cuadro Encabezamiento Columna Matriz Cuerpo del Cuadro Fuente de los Datos y Notas Unidades Físicas y Valores Clasificación de los Cuadros Estadísticos De acuerdo a su función: .- Cuadros de fines generales .- Cuadros de fines específicos De acuerdo a su forma de presentación: .- Cuadros simples .- Cuadros complejos De acuerdo a su grado: .- Cuadros de primer grado .- Cuadros de segundo grado .- Cuadros mixtos De acuerdo a la naturaleza de los datos: .- Cuadros condicionales .- Cuadros territoriales .- Cuadros cronológicos Importancia de los cuadros estadísticos Facilita la observación de los datos presentados en un mismo cuadro o en cuadros diferentes para su comparación Facilita el resumen de los principales resultados obtenidos Favorece el descubrimiento de irregularidades en los datos por omisiones o errores de indagación o clasificación

Distribución de Frecuencias Para obtener información acerca de un problema específico no es conveniente manejar la información en forma individual, sino resumir el conjunto de datos de forma tal de obtener el máximo de información posible enfocándose por separado en cada variable, para ello se utiliza las llamadas distribuciones de frecuencias cuando la variable en estudio alcanza un nivel de medida por lo menos de intervalo. Definición: Es un listado de todas las puntuaciones observadas de una variable con sus respectiva frecuencia (fi) en cada puntuación (o categoría). Ventajas: Las distribuciones de frecuencias son fundamentalmente utilizadas cuando la masa de datos que se han de observar es tan grande que no podemos a simple vista comprender y describir sus características abarcando su totalidad, por lo tanto, su ventaja principal es proporcionar la máxima información posible de una forma ordenada y fácil de entender. Casos: La agrupación de los datos se hará atendiendo a la cantidad de valores que toma la variable en estudio: 1.- Cuando la variable toma pocos valores 2.- Cuando la variable toma muchos valores (Construcción de Clases) Distribución de Frecuencias

______________________________________________Distribución de Frecuencias Dado que la agrupación de los datos se hará atendiendo a la cantidad de valores que toma la variable En estudio, Cuando la variable toma pocos valores tenemos: Frecuencia Absoluta: Es el número de veces que se encuentra repetido un determinado valor de la variable, se denota (fi). Frecuencia Relativa: Es el cociente que resulta de dividir cada frecuencia absoluta (fi) por el número total de frecuencias, se denota (hi) . Frecuencia Absoluta Acumulada: Se obtiene por un proceso de adición sucesiva de las frecuencias absolutas anteriores, se denota (Fi). Por definición es f1+f2+...+fj = Fi Frecuencia Relativa Acumulada: Se obtiene por un proceso de adición sucesiva de las frecuencias relativas anteriores, se denota (Hi). Por definición es h1+h2+...+hj = Hi La formación de Tablas de frecuencias, cuando la variable toma pocos valores, no supone perdida alguna de la información contenida en los datos originales

2.- Determinación del Intervalo de Clase Cuando la variable toma muchos valores se recurre a un criterio que permita agrupar los datos de tal forma que reduzca el tamaño de la serie y a su vez permita un análisis que revele las características más importantes sin perder la visión del conjunto de datos. La reducción de datos para formar una tabla de frecuencias descansa en la clasificación de las observaciones de acuerdo a los objetivos de la investigación 2.- Determinación del Intervalo de Clase 1.- Determinación del Número de Clases La anchura o amplitud de una clase se llama intervalo de clase. Para calcularlo debemos: Fijar muchas clases Fijar pocas clases 1.- Fijar el recorrido total de los valores que toma la variable denominado rango. Rango= Valor Máximo – Valor Mínimo 2.- Intervalo de Clase= Rango/No de Clase El criterio a seguir para la correcta determinación del número de clases depende naturalmente de las características de la variable y de los objetivos que persigue la investigación. Los extremos de las clases se llaman “Límites de Clase”. El valor inferior de una determinada clase se denomina “Límite Inferior” y el más alto “Límite Superior”. El punto central del intervalo o punto medio es la semi suma de los límites de clases y viene dado por: Punto Medio= Li+Ls/2 , los valores individuales de cada clase están representados por su punto medio. Los límites de clases deben ser mutuamente excluyentes Clases con la misma amplitud (Ventajas y Desventajas) Clases abiertas (Ventajas y Desventajas)

______________________________________________Distribución de Frecuencias Dado que la agrupación de los datos se hará atendiendo a la cantidad de valores que toma la variable En estudio, Cuando la variable toma muchos valores tenemos: Frecuencia Absoluta: Llamaremos frecuencia absoluta de la i-ésima clase al número de observaciones pertenecientes al intervalo de dicha clase, se denota (fi). Frecuencia Relativa: Es el cociente que resulta de dividir la frecuencia absoluta (fi) correspondiente a la i-ésima clase por el número total de frecuencias, se denota (hi) . Frecuencia Absoluta Acumulada: La frecuencia acumulada correspondiente a la i-ésima clase se obtiene por un proceso de adición sucesiva de las frecuencias absolutas anteriores, se denota (Fi). Por definición es f1+f2+...+fj = Fi Frecuencia Relativa Acumulada: La frecuencia relativa correspondiente a la i-ésima clase se obtiene por un proceso de adición sucesiva de las frecuencias relativas anteriores, se denota (Hi). Por definición es h1+h2+...+hj = Hi

y1 y2 . ym f1 f2 fm f1/n= h1 f2/n= h2 fm /n= hm F1 = f1 F2 = f1+ f2 Cuadro Resumen: Valores de la Variable Frecuencias absolutas (fi) Frecuencias Relativas (hi) Frecuencias Absolutas Acumuladas (Fi) Frecuencias Relativas Acumuladas (Hi) y1 y2 . ym f1 f2 fm f1/n= h1 f2/n= h2 fm /n= hm F1 = f1 F2 = f1+ f2 Fm = f1+…… +fm H1 = h H2 = h1+ h2 Hm = h1+…… +hm Propiedades relacionadas con las frecuencias: Las frecuencias absolutas (fi), y las frecuencias acumuladas (Fj),son números enteros no negativos Las frecuencias relativas (hi), y las frecuencias relativas acumuladas (Hj),son números fraccionarios no negativos y no mayores que uno. Las relaciones más importantes pueden expresarse así:

M E D I A S R U N Promedio Aritmético (Media Aritmética) Media Armónica (H) Media Geométrica (G) M E D I A S R U N Medidas de Tendencia Central Mediana (Md) Modo (Mo) Cuartiles (Qj) Deciles (Dj) Percentiles (Pj) Medidas de Posición a) El Rango o Amplitud, denotado por R b) La Desviación Cuartil, denotada por DQ c) La Desviación Media con respecto a: c.1.- La Mediana, denotada por c.2.- La Media, denotada por d) La Varianza, denotada por e) La Desviación Típica o Estandar, denotada por Medidas de Dispersión Absolutas Medidas de Dispersión a) Coeficiente de Variación de Pearson b) Coeficiente de Variación Medianal Medidas de Dispersión Relativas:

_________________________Medidas de Tendencia Central: Un número que representa a todos Datos No Agrupados La Media Aritmética Media Aritmética Total b) Suma de todas las puntuaciones dividida entre el número de puntuaciones observadas. Sean X1 +X2....Xn, los valores de la variable y n el número de observaciones en estudio, entonces la Media Aritmética viene dada por: Luego: a) Abierta a operaciones matemáticas; útil con variables de intervalo/razón. Su cálculo es distorsionado por valores extremos. Para una variable ordinal o de intervalo/razón, la puntuación de la mitad en una distribución ordenada, la puntuación por arriba de la cual queda la mitad de los casos y por debajo queda la otra mitad. Es INSENSIBLE a los valores de X en la distribución, pero sensible a los cambios en el tamaño de la muestra. La Mediana (Md) Puntuación que ocurre con mayor frecuencia en una distribución. Es útil con todos los niveles de medición pero es más utilizado en el nivel de medida Nominal. Es INSENSIBLE a los valores de X e insensible a como se distribuyen a su alrededor las puntuaciones. El Modo (Mo)

_________________________Medidas de Tendencia Central: Un número que representa a todos Datos Agrupados Donde: Xi = es el punto medio o marca de clase fi= Frecuencia absoluta de la clase n= Es el total de los datos en estudio La Media Aritmética La Mediana La posición de la Mediana es = mitad de las frecuencias Li = Límite inferior de la clase medianal Fi-1= Frecuencia acumulada hasta la clase anterior de la clase medianal fi= Frecuencia absoluta de la clase medianal Ic= Intervalo de clase donde se encuentra la clase medianal Donde: El Modo Li = Límite inferior de la clase modal (aquella clase que comprende la mayor frecuencia absoluta) = Es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase donde se encuentra el modo y la frecuencia absoluta anterior a la modal.(fi - fi-1) = Es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase donde se encuentra el modo y la frecuencia absoluta de la clase siguiente a la modal.(fi - fi+1) Ic= Es la amplitud del intervalo de clase modal Donde:

_________Medidas de Posición: Un número para mostrar la localización de los Datos Medidas de Posición para datos no agrupados: Cuando se desea calcular una medida de posición para datos no agrupados, se debe ordenar los datos y asignarle en forma creciente un número para determinar así la posición que ocupa el porcentil: Posición del Porcentil= Para el caso en que N es par Para el caso en que N es impar donde: j= Es el número del porcentil que se desea determinar (Ql, D3, P80 ) K= Es 4, 10, ó 100 de acuerdo a la base del porcentil que se desea calcular N= Es el total de los datos en estudio. Una vez determinado la posición que ocupa el porcentil debemos aplicar la siguiente fórmula para determinar su valor: Porcentil=Valor menor+Parte decimal (Valor Mayor–Valor Menor) Medidas de Posición para datos agrupados: Cuando se desea calcular una medida de posición para datos agrupados, se determina la posición del porcentil, empleado la fórmula:   Posición del Porcentil= donde: j= Es el número del porcentil que se desea determinar (Ql, D3, P80 ) K= Es 4, 10, ó 100 de acuerdo a la base del porcentil que se desea calcular N= Es el total de los datos en estudio. Una vez determinada la posición del cuartil debemos ubicar la frecuencia acumulada que contiene este valor para determinar la clase que contiene la información a aplicar: j= Es el número del porcentil que se desea determinar (Ql, D3, P80 ) Li = Límite inferior de la clase a la cual pertenece el porcentil = Posición del Porcentil Fi-1= Frecuencia acumulada de la clase anterior a la cual pertenece el cuartil fi= Frecuencia absoluta de la clase a la cual pertenece el cuartil Ic= Intervalo de clase

_________Medidas de Dispersión: Un número para mostrar la variabilidad de los Datos Los estadísticos de dispersión permiten describir cómo se extienden las puntuaciones de una variable con un nivel de medida de Intervalo/Razón a través de su distribución.1 Medidas de Dispersión Absolutas: a) El Rango o Amplitud R= Valor Máximo – Valor Mínimo b) La Desviación Cuartil DQ= Q3 – Q1 c) La Desviación Media con respecto a: c.1.- La Mediana c.2.- La Media d) La Varianza e) La Desviación Típica o Estándar Medidas de Dispersión Relativas: a) Coeficiente de Variación de Pearson b) Coeficiente de Variación Medianal 1 Ritchey Ferris: Estadística para las Ciencias Sociales. El Potencial de la Imaginación Estadística. Pág. 127

Medidas de Tendencia Central Conclusiones Tema 2: Descripción Global de un Colectivo y Comparaciones desde la Perspectiva Univariable Proporciones, Porcentajes (por fila, por columna, general) Razones Construcción de Cuadros Estadísticos según su tipo. Distribución de Frecuencias Medidas de Tendencia Central Media Aritmética Mediana Modo Medidas de Posición Cuartíl Decíl Percentíl Medidas de Dispersión Medidas de Dispersión Absolutas Medidas de Dispersión Relativas