REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Tema 6.4 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Reducción al 1º Cuadrante Reducir un ángulo, β, al 1º Cuad. es expresar el valor de sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo, α, del 1º Cuad. Para ello se toma el afijo del ángulo β sobre la circunferencia y se construye un triángulo rectángulo. Los catetos serán los valores del seno y coseno de dicho ángulo β . Dicho triángulo será siempre semejante a otro situado en el 1º Cuadrante, por tener los ángulos iguales y la hipotenusa la misma. Al ser ambos triángulos semejantes, podemos identificar sus lados, obteniendo siempre una de esas dos propiedades: |sen β| = |sen α| y |cos β| = |cos α| ; |sen β| = |cos α| y |cos β| = |sen α| 90º β β α β 0º 180º β β β β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ANGULOS COMPLEMENTARIOS Se llaman ángulos complementarios los que suman 90º. En la figura: α + β = 90º En ellos sen α = cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (90º – α) = cos α cos (90º – α) = sen α EJEMPLOS sen 30º = sen (90º - 60º) = cos 60º cos 45º = cos (90º - 45º) = sen 45º sen 15º = sen (90º - 75º) = cos 75º cos 22,5º = cos (90º - 22,5º) = sen 67,5º 90º β α 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º ANGULOS QUE DIFIEREN EN 90º En general uno de ellos estará en el 2º Cuadrante y el otro en el 1º Cuadrante. En la figura: β – α = 90º En ellos sen α = - cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (90º + α) = cos α cos (90º + α) = - sen α EJEMPLOS sen 105º = sen (90º + 15º) = cos 15º cos 120º = cos (90º + 30º) = - sen 30º sen 135º = sen (90º + 45º) = cos 45º cos 112,5º = cos (90º + 22,5º) = - sen 22,5º β 90º α 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS ANGULOS SUPLEMENTARIOS Se llaman ángulos suplementarios los que suman 180º. En la figura: α + β = 180º En ellos sen α = sen β cos α = - cos β O expresado de otra manera: sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = - cos α EJEMPLOS sen 120º = sen (180º - 60º) = sen 60º cos 135º = cos (180º - 45º) = - cos 45º sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º cos 105º = cos (180º - 15º) = - cos 15º 90º α β 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º ANGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante. En la figura: β – α = 180º En ellos sen α = - sen β cos α = - cos β O expresado de otra manera: sen (180º + α) = - sen α cos (180º + α) = - cos α EJEMPLOS sen 210º = sen (180º + 30º) = - sen 30º cos 225º = cos (180º + 45º) = - cos 45º sen 240º = sen (180º + 60º) = - sen 60º cos 195º = cos (180º + 15º) = - cos 15º 90º α 0º 180º β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ÁNGULOS QUE SUMAN 270º ANGULOS QUE SUMAN 270º Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante. En la figura: α + β = 270º En ellos sen α = - cos β cos α = - sen β O expresado de otra manera: sen (270 - α) = - cos α cos (270º - α) = - sen α EJEMPLOS sen 240º = sen (270º - 30º) = - cos 30º cos 225º = cos (270º - 45º) = - sen 45º 90º α 0º 180º β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º ANGULOS QUE DIFIEREN EN 270º Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 4º Cuadrante. En la figura: β - α = 270º En ellos sen α = - cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (270º + α) = - cos α cos (270º + α) = sen α EJEMPLOS sen 300º = sen (270 + 30º) = - cos 30º cos 315º = cos (270º + 45º) = sen 45º sen 330º = sen (270º + 60º) = - cos 60º cos 345º = cos (270º + 75º) = sen 75º 90º α 0º 180º 270º β @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ÁNGULOS QUE SUMAN 360º ANGULOS NEGATIVOS Todo ángulo negativo se corresponde con otro positivo, simétrico respecto al eje de abscisas. En general el ángulo negativo estará en el 4º Cuadrante y su simétrico en el 1º Cuadrante. En la figura: α = - β En ellos sen α = - sen β cos α = cos β O expresado de otra manera: sen (- α) = - sen α cos ( - α) = cos α EJEMPLOS sen ( - 30º) = - sen 30º cos (- 45º) = cos 45º 90º α 0º 180º β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B