Matriz inversa Método Gauss Jordan

Introducción Matriz inversa: Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad: (Siendo I la matriz identidad de igual orden que A) Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en caso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa.

Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-1 Multiplico los elementos de las filas de la primer matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos: Para la fila 1, columna 1: 2.a+(-1).c=2.a-c Para la fila 1, columna 2: 2.b+(-1).d=2.b-d Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+c Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+d Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1

Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-1 A partir de esta igualdad podemos deducir las siguientes ecuaciones: 2.a-c=1 2b-d=0 a+c=0 b+d=1  Armar estos sistemas de ecuaciones… …Y resolverlos por alguno de los métodos vistos (suma, resta, igualación, sustitución, etc…) En este caso fue resuelto por la suma de las ecuaciones del sistema y el posterior despeje de las incógnitas….

Ejemplo: 1 1 Sea A= , hallar si es posible A-1 Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de A Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1 Para la fila 1, columna 2: 2.(1/3)+(-1).(2/3)=0 Para la fila 2, columna 1: 1.a+1.c=a+c Para la fila 2, columna 2: 1.b+a.d=b+d 1  El resultado coincide con los valores de la identidad… 1

Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-1 … lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A

El método recién explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incógnitas…. … es por ello que veremos el método Gauss Jordan.

Método Gauss Jordan. Preparación de la matriz: A= Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla… En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicación original A I 2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente. A I En este caso elijo el 1 para ahorrar cuentas, ya que debo dividir cada elemento de la fila por el numero que elijo. Por lo tanto, debido a que elegí el 1 se mantienen los valores de la fila

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero. A I

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo Seleccionamos el elemento a transformar Que consiste en restarle a dicho elemento el producto contra diagonal dividido por el pivote A I Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectángulo imaginario Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta… 2-(1.0)/1= 2 Y lo ubicamos en la tabla… Siendo la diagonal la línea que va del pivote al 2 la contra diagonal seria la que va del 0 al 1 2

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo Ahora seleccionamos otro elemento a transformar A I -2 - [1.(-1)]/1 = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1 Armamos el rectángulo imaginario Y determinamos los elementos de la contra diagonal para hacer la transformación Y así sucesivamente hasta completar la tabla… 2 -1

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 0-( 1 . 1 )/1= -1 2 -1 -1

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 1-( 1 . 0 )/1= 1 2 -1 -1 1

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 0-( 1 . 0 )/1=0 2 -1 -1 1

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I -1-( 2 . 0 )/1=-1 2 -1 -1 1 -1

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 1-( 2 . -1 )/1=3 2 -1 -1 1 -1 3

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 0-( 2 . 1 )/1=-2 2 -1 -1 1 -1 3 -2

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 0-( 2 . 0 )/1=0 2 -1 -1 1 -1 3 -2

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento: 3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo A I 1-( 2 . 0 )/1=1 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 -½ -½ ½ A I 1 Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote anterior, y se divide por él la fila correspondiente. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero. -½ -½ ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1 -½ -½ ½ A I Seleccionamos el elemento a transformar El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectángulo imaginario 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta… 1-(0.0)/1= 1 Y lo ubicamos en la tabla… Siendo la diagonal la línea que va del pivote al 1 la contra diagonal seria la que va del 0 al 0 1 -½ -½ ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(0.-1)/2= 0 1 -½ -½ ½ A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(0.-1)/2= 0 1 -½ -½ ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 3-(-1.-1)/2= 5/2 1 -½ -½ ½ A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 3-(-1.-1)/2= 5/2 1 -½ -½ ½ 1 5/2

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2 1 -½ -½ ½ I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(-1.1)/2= 1/2 1 -½ -½ ½ ½ A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(-1.1)/2= 1/2 1 -½ -½ ½ 1 ½ 5/2 -5/2

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1-(-1.0)/2= 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1-(-1.0)/2= 1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(0.0)/2= 0 1 -½ -½ ½ ½ 1 A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(0.0)/2= 0 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(1.0)/2= 0 1 -½ -½ ½ ½ 1 A I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 0-(1.0)/2= 0 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1-(-1.0)/2= 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1-(-1.0)/2= 1 1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 -1-(-1.0)/2= -1 1 -½ -½ ½ ½ I Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla…. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 -1-(-1.0)/2= -1 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1 -½ -½ ½ ½ -1 1 1 A I Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna I… Como puede verse aquí aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condición… 2 -1 -1 1 -1 3 -2 1 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1-(-1.0)/5/2= 1 -1 I Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna I… Como puede verse aquí aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condición… Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1 1-(-1.0)/5/2= 1 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 0-(-1.0)/5/2= 0 -1 I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1 0-(-1.0)/5/2= 0 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1-(-1/2.0)/5/2= 1 I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1 1-(-1/2.0)/5/2= 1 1 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1-(-1/2.0)/5/2= 1 I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1 1-(-1/2.0)/5/2= 1 1 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… -1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1 1 1 -1 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5 1 1 -1 3/5 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 0-(-1/2.1)/5/2= 1/5 1 1 -1 3/5 1/5 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 1-(-1.-5/2)/5/2= 0 1 1 -1 3/5 1/5 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 0-(1/2.-1)/5/2= 1/5 1 1/5 1 -1 3/5 1/5 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos… Elijo mi tercer pivote… 2 -1 -1 1 -1 3 1 Divido los elementos de su fila por el pivote… 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 ½ 1 5/2 -5/2 Reemplazo por 0 los elementos de la columna… 0-(-1.1)/5/2= 2/5 1 1/5 2/5 1 -1 3/5 1/5 1 -1 1/5 2/5

Método Gauss Jordan. 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -½ -½ ½ ½ 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 A I 2 -1 -1 1 -1 3 1 1 -1 1 -½ -½ ½ 1 5/2 -5/2 ½ 1 1 1/5 2/5  Esta seria nuestra matriz inversa 1 -1 3/5 1/5 1 -1 1/5 2/5 I A-1

Método Gauss Jordan. Entonces, resulta que la inversa de A es: A-1