MATE 3011 – PRESENTACION #6 Desigualdades

Desigualdades o Inecuaciones Una desigualdad es un enunciado que declara que dos cantidades o expresiones NO son equivalentes. Por ejemplo, 2x + 3 > 11. Si se obtiene un enunciado cierto al reemplazar un número b por la x , entonces b es una solución de la desigualdad.

Desigualdades (continuación) Por ejemplo, x = 5 es una solución de 2x + 3 > 11 ya que 13 > 11 is cierto, pero… x = 3 no es una solución ya que 9 > 11 es falso. Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS las soluciones.

Soluciones y Desigualdades Casi todas las desigualdades tienen un número infinito de soluciones Por ejemplo, el conjunto de TODAS las soluciones de la desigualdad 2 < x < 5 consiste de todos los números reales entre 2 y 5 . Llamamos a este conjunto un intervalo abierto y lo denotamos (2, 5) .

Soluciones y Desigualdades (continuación) La gráfica del intervalo abierto (2, 5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que yacen entre x = 2 y x = 5, sin incluirlos extremos. Ilustramos:

Intervalos Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5 , SI incluyen x = 2 and x = 5 , y se denota [2, 5] , un intervalo cerrado. Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado:

Otros tipos de Intervalos La tabla muestra otros tipos de desigualdades, que consideraremos:

Otros Tipos (continuación)

Propiedades de Desigualdades EJEMPLO 2 < 7, por lo tanto, 2 + 3< 7 + 3 y 2 – 3 < 7 – 3 Nota que multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número real negativo invierte la desigualdad.

Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: , como desigualdad , como intervalo La gráfica es :

Ejemplo Resolver: Solución:

Más Desigualdades Solución:   Solución: Un número es solución de la desigualdad dada si y solo si satisface simultáneamente: y

Solución (continuación)  

Valor Absoluto  

Ejemplo Resolver:

Desigualdades cuadráticas Resolver la desigualdad como si fuera una ecuación cuadrática. Las soluciones reales de la ecuación dividen el conjunto de los reales en regiones. Debemos seleccionar puntos de cada región para determinar cuál región contiene puntos que satisfacen la desigualdad. Describir el conjunto de soluciones.  

Desigualdades cuadráticas    

Desigualdades cuadráticas   Elegir un valor representativo en cada región. x x=-3 x=0 x= 4

Desigualdades cuadráticas   Determinar y describir el conjunto de soluciones. x=-3 x=0 x= 4  

Desigualdades cuadráticas    

Desigualdades cuadráticas   Examinar un elemento representativo de cada región x = -1 x = 0 x = 1

Desigualdades cuadráticas   Determinar y describir el conjunto de soluciones. x = -1 x = 0 x = 1  

Desigualdades Racionales 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2𝑥−1 3𝑥+3 ≥0 El signo de la expresión racional 𝑃 𝑄 , donde P y Q son polinomios, depende de los signos de P y Q. A su vez, los signos de P y Q dependen de los ceros de P y Q, si los hay. Por lo tanto, el signo de la expresión racional 𝑃 𝑄 , depende de los ceros de P y de Q y si el signo cambia, el cambio sólo puede ocurrir en estos ceros.

Desigualdades Racionales 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2𝑥−1 3𝑥+3 ≥0 Resumiendo, para resolver una desigualdad de la forma 𝑃 𝑄 >0 (ó 𝑃 𝑄 >0 ): Determine primeramente los ceros de P y Q. Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones. Elegir un valor representativo en cada región. Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo y determinar si satisface o no la desigualdad. Describir el conjunto de soluciones.

Desigualdad Racional El numerador de la expresión es positivo siempre. Solución: El numerador de la expresión es positivo siempre. Esta expresión será positivo cuando el denominador, x – 2, es positivo también. x – 2 es positivo cuando x > 2. El conjunto de soluciones es:

Desigualdades Racionales Determine primeramente los ceros de P y Q. 2x – 1 = 0 cuando x = ½ . 3x + 3 = 0 cuando x = -1. Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones. −1<𝑥< 1 2 𝑥> 1 2 𝑥<−1

Desigualdades Racionales Elegir un valor representativo en cada región. x = 0 x = 1 x = -2 −1<𝑥< 1 2 𝑥> 1 2 𝑥<−1 Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo 2 −2 −1 3 −2 +3 −5 −3 = 5 3 >0 2 0 −1 3 0 +3 −1 3 <0 2 1 −1 3 1 +3 1 3 >0

Desigualdades Racionales Describir el conjunto de soluciones. x = 0 x = 1 x = -2 −1<𝑥< 1 2 𝑥> 1 2 𝑥<−1 2 −2 −1 3 −2 +3 −5 −3 = 5 3 >0 2 0 −1 3 0 +3 −1 3 <0 2 1 −1 3 1 +3 1 3 >0 −∞,−1 ∪ 1 2 ,∞