TRÁFICO 2012

DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO Aplicación de la teoría de probabilidad a la solución de problemas concernientes a la planificación, evaluación del desempeño, operación y mantenimiento de los sistemas de telecomunicación. Herramientas matemáticas: procesos estocásticos , teoría de colas y simulación numérica

OBJETO DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO El objetivo de la teoría de teletráfico es el desarrollo de modelos matemáticos que permitan derivar la relación entre capacidad y grado de servicio. El conocimiento proporcionado por la modelización de los sistemas será la base en la toma de decisiones operacionales y económicas. Hacer el tráfico mesurable en unidades bien definidas a través de modelos matemáticos y derivar relaciones entre grado de servicio y capacidad del sistema, de manera que la teoría se convierta en una herramienta de planificación de inversiones. (Iversen). Diseñar sistemas que se adapten a la carga de trabajo, con un desempeño mesurable y con una optimización de los costes.

¿Qué mide el Grado de Servicio? Definición Número de variables de ingeniería de tráfico que proveen una medida del desempeño de un grupo de recursos bajo unas condiciones específicas. Los valores de referencia asignados a las variables de tráfico constituyen los estándares del Grado de Servicio Los valores obtenidos para los parámetros especificados constituyen los resultados del Grado de Servicio ¿Qué mide el Grado de Servicio? Mide el desempeño medio de una red , o parte de una red. Es el punto de vista del Operador del servicio

Calidad de servicio. QoS. SLA El Grado de Servicio mide el desempeño de la red, es el punto de vista del Operador. Parte de unos objetivos y dimensiona la red para su cumplimiento. Las medidas, usualmente de comportamiento medio comprueban la bondad de las hipótesis y el comportamiento de la red. La calidad de servicio – QoS - representa el punto de vista del usuario y está expresada en términos adecuados a sus expectativas. La red puede tener un bloqueo del 1%, pero un usuario en particular experimentar un 3%. El SLA o ANS (Acuerdo de Nivel de Servicio) es un contrato entre Operador y Usuario en el que se definen los términos (disponibilidad, proceso provisión, mantenimiento ...) y las penalizaciones por incumplimiento.

TAREAS EN LA INGENIERÍA DE TRÁFICO Caracterización de la demanda Objetivos de grado de servicio Requisitos QoS Modelos tráfico Medidas tráfico Objetivos GoS Previsión tráfico Elementos Red Control Tráfico Dimensionado Monitorización

MODELOS Las redes de telecomunicaciones se diseñan para atender demandas de usuarios adscritos a un determinado servicio. El comportamiento de los usuarios, de las fuentes , será en general aleatorio y ello nos impulsa a intentar modelarlo mediante la teoría de procesos estocásticos. Construiremos modelos que confrontaremos a la medidas en la red, si no concuerdan deberemos construir nuevos modelos en un proceso iterativo. Parece natural separar la descripción de las propiedades del tráfico en dos procesos diferentes: Aparición de eventos (peticiones de servicio) Tiempos de servicio

Terminología en procesos tráfico Tiempo entre eventos Tiempo servicio Tiempo libre Tiempo llegada Tiempo salida Busy , Idle, Interarrival time, Holding time

Comportamiento usuario Control y camino de voz. Señalización y media. Redes telefónicas Comportamiento usuario Control y camino de voz. Señalización y media. Comentario estructura de la red telefónica Topología Arquitectura Ejemplo VSAT Concepto conmutación circuitos

Redes de datos Principio conmutación paquetes Almacenamiento y retransmisión Caso LAN

Redes móviles Diferencias respecto redes fijas Control de presencia Handover

Redes de nueva generación Complejidad Tráfico de agregación Tasas de crecimiento Modelos matemáticos

HISTORIA

HISTORIA Molina desarrolla trabajos anteriores de Rorty en los Bell Labs para ATT Hipótesis Las llamadas se producen aleatoriamente Todas las llamadas permanecerán en el sistema durante un tiempo igual al tiempo medio de permanencia tanto si se atienden como si no. El bloqueo ocurre cuando el número de llamadas es mayor que el número de recursos durante un tiempo igual al tiempo medio. En 1920 alguien comentó que esos resultados provenían de investigaciones de Poisson (1781-1840), Molina le cedió los honores.

HISTORIA SIMEON D. POISSON

HISTORIA Agner Krarup Erlang desarrolla sus modelos en 1909 Hipótesis Las llamadas que llegan con todas los servidores ocupados se pierden (se enrutan por otro sitio) Las llamadas que llegan con todos los servidores ocupados esperan en cola hasta ser atendidas.

HISTORIA Tore Olaus Engset en 1918 propone un refinamiento de las fórmulas de Erlang Erlang supone que el número de fuentes “productoras “ de eventos es infinito. Si el número es finito Erlang está sobreestimando el dimensionado

HISTORIA Después de la WWII, Roger Wilkinson desarrolla un modelo para el tráfico de “desbordamiento” Hipótesis. El tráfico que no puede ser cursado por una ruta, no tiene características poissonianas. Usualmente la varianza es mayor que la media. A su relación se la conoce como coeficiente de variación. Wilkinson desarrollo un método para dimensionar los recursos que deberán cursar este tipo de tráfico. Neal en 1970 refinó el modelo y publicó unas tablas de dimensionado , las tablas de Neal-Wilkinson En 1982 Henry Jacobsen de ATT publica las tablas EART y EARC para el diseño de enlaces en PBX con rutas de desbordamiento basándose en los modelos de Neal-Wilkinson

HISTORIA A mediados de los 50 , Roger Wilkinson estudia el modelo de reintentos. Bretschneider hace lo mismo en Alemania. Los intentos de llamada, en el mundo real, se repiten si no consiguen servicio. Wikinson desarrolla los modelos teóricos. En 1980 Jacobsen publica las “Retrial Tables” basándose en los trabajos de Wilkinson.

HISTORIA En 1951 Kendall introduce una notación para especificar los distintos escenarios de un sistema de colas. En los 60 y 70 se producen grandes avances teóricos en USA y Alemania. Kleinrock publica en 1970 su primer volumen y “evangeliza” sobre el uso de los computadores en teoría de colas.

Conceptos básicos y medidas

CONCEPTOS TEORÍA TELETRÁFICO Intensidad de tráfico Intensidad de tráfico. Número de recursos ocupados en un sistema en un instante de tiempo dado. Dónde n(t) es el número de recursos ocupados en el tiempo t C : Número de recursos ocupados en función de t D: Intensidad media en un tiempo T La curva de la figura representa el tráfico cursado por un conjunto de recursos

Conceptos (cont) Tráfico ofrecido A=·tm Si el número de recursos no es infinito, pueden producirse peticiones de servicio con todos los recursos ocupados. El tráfico ofrecido no puede medirse, puede estimarse. Se trabaja con dos parámetros  : número de eventos (peticiones de servicio) por unidad de tiempo. Tiempo medio de servicio tm A=·tm

INTENSIDAD DE TRÁFICO

VARIACIÓN DIARIA

VARIACIÓN DEL TIEMPO MEDIO DE LLAMADA

VARIACIONES INTENSIDAD TRÁFICO. MODEM POOL INTERNET

CONCEPTO DE BLOQUEO. Loss systems Congestión de tiempo Fracción de tiempo en la que todos los servidores están ocupados. Congestión de llamadas Fracción de todas las llamadas que encuentran todos los servidores ocupados. Congestión de tráfico Fracción de todo el tráfico ofrecido que no es cursado.

EVENTOS – INTERVALOS DE TIEMPO llamadas Server 3 Server 2 Server 1 ¿Cuál es la congestión de tiempo, tráfico, llamadas?

Tráfico en Erlang

Elementos teoría de probabilidad

Trataremos con intervalos de tiempo no negativos PROBABILIDAD Trataremos con intervalos de tiempo no negativos Funciones de distribución Un intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica X caracterizada por Incluye posibles discontinuidades en cero

PROBABILIDAD. Identidad de Palm El coeficiente de variación mide la dispersión (irregularidad) de la distribución. Otra medida es el coeficiente de Palm.

PROBABILIDAD Estas relaciones son independientes de la escala de tiempos Cuando mayor sea el factor de forma más irregular es la distribución temporal, eso llevará por ejemplo a que el tiempo de espera medio, en los sistemas de colas , sea mayor. Para estimar una distribución a partir de observaciones, a menudo se está satisfecho al conocer los dos primeros momentos.

Distribución exponencial negativa Se utiliza para caracterizar los tiempos de vida (no negativos) de manera sencilla. Es un caso especial de la distribución Gamma Tiene un solo parámetro

Tiempo de vida residual Se trata de hallar la distribución del tiempo de vida residual, es decir se ha alcanzado una determinada duración del tiempo de servicio (por ejemplo). Es un problema de condiciones ¿Cuál es la probabilidad de que una vez alcanzado el tiempo x se llegue al tiempo t+x? Para el valor medio de la vida residual se aplica la identidad de Palm

Tiempo de vida residual para la exponencial La vida residual es igual a la vida media. Esto no es cierto siempre. Para distribuciones con  < 2 la vida residual es menor, para  >2 la vida residual es mayor

Carga de los tiempos de servicio menores que uno dado Lo que nos da el coeficiente es que proporción del tráfico total es debida a contribuciones de tiempo de vida menores que x El 75% de los trabajos contribuye con el 30% del valor de la media

Combinación de variables estocásticas Serie La función de distribución es la convolución de las funciones de distribución de las respectivas variables. La media es la suma de las medias y la varianza la suma de varianzas Paralelo Cada variable estocástica se pondera. La función de distribución es la suma ponderada de las funciones de distribución individuales. La media y varianza son:

Ejemplo: Ensayo de Bernouilli y binomial

Combinación de distribuciones exponenciales Con combinaciones de distribuciones exponenciales se puede aproximar cualquier distribución Combinando en serie se obtienen las llamadas distribuciones hipoexponenciales, que tienen <2. Si todos los parámetros son iguales se llaman distribuciones de Erlang 1 2 3 4

Erlang-k

Gráfica Erlangiana Se ha normalizado la media a un valor 1, por ejemplo reemplazando por k. El caso k=1 corresponde a la exponencial

PROBABILIDAD. PROCESOS DE LLEGADA Se consideran procesos puntuales simples en los que se excluyen llegadas múltiples. En las telecomunicaciones se puede hacer considerando intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños. Consideremos los instantes de aparición de eventos a partir de un tiempo inicial El numero de llamadas en un intervalo abierto [0,t [ se representa por Nt. En la que t es un parámetro continuo pero tiene un espacio muestral discreto La distancia entre dos llegadas sucesivas, se llama tiempo entre llegadas

Identidad de Feller - Jensen Tenemos dos variables aleatorias que representan dos procesos Representación “Número”. El intervalo de tiempo t se mantiene constante y se observa el número de llegadas en ese tiempo Nt Representación “Intervalo”. Se mantiene el número de llamadas constante y se observa la variable Ti Existe la siguiente relación Identidad de Feller-Jensen

El proceso de Poisson es un proceso puntual simple Procesos puntuales Características de los procesos puntuales Estacionareidad Independencia La evolución del proceso (su futuro) depende solo del estado actual (propiedad de Markov) Para los procesos puntuales simples La probabilidad de que haya más de un evento en un intervalo suficientemente pequeño tiende a cero El proceso de Poisson es un proceso puntual simple

Poisson PPT ESPECÍFICO

Poisson Proceso de Poisson

Teoerema de Palm La superposición de procesos puntuales independientes tiende a un proceso que localmente es de Poisson. El término localmente significa que el intervalo del tiempo es lo suficientemente corto como para que cada proceso individual contribuya a lo sumo con un evento y no “domine”.

Teorema de Raikov Una descomposición aleatoria de un proceso puntual en subprocesos, produce subprocesos que convergen a procesos de Poisson, cuando la probabilidad de que un evento pertenezca a un subproceso tiende a cero.

Teorema de Little Válido para cualquier cola (solo se requiere estacionareidad) El proceso de llegada es estocástico Las llegadas “esperan” hasta que son servidas y después abandonan el sistema. Se considera un tiempo de observación T

Teorema de Little. Definiciones N(T) : Número de llegadas en el tiempo T A(T) : Tiempo total de servicio en el tiempo T. Tráfico cursado. (T)=N(T)/T Tasa media de llamadas en el tiempo T W(T)=A(T)/N(T) Tiempo medio de servicio en el tiempo T L(T)=A(T)/T número medio de “llamadas” simultáneas en el tiempo T

Teorema de Little

Teorema de Little. Gráfica

Simulación de variables aleatorias

Simulación variables aleatorias Queremos generar números , x , aleatorios en un determinado dominio de manera que su probabilidad de ocurrencia, o densidad de probabilidad dependa de x de una manera prescrita f(x). Técnica de transformación inversa Generar U(0,1) uniforme entre 0 y 1 Obtener X=F-1(U). Recordar que la función de distribución tiene un rango entre 0 y 1 Ej Weibull

Simulación Gaussiana Las gaussianas son de media cero , para otro valor solo hará falta añadirlo a cada número generado

Simulación Otros métodos Composición. Es una extensión del método de inversión, se utiliza cuando la fdp se puede escribir como combinación lineal de funciones más simples en las que pueda aplicarse el método de inversión. Ejemplo : distribución de Laplace Convolución. Las combinaciones algebraicas de variables aleatorias y para el caso de que las variables sean independientes pueden ayudar a su simulación. Por ejemplo si una determinada función de densidad se puede obtener por convolución de funciones elementales (caso de suma de variables) se puede generar cada variable individual y sumar los resultados. Ejemplo distribución de Erlang. Se pueden obtener también así variables generados por multiplicación y división de otras variables con fdp elementales o invertibles. Aceptación- Rechazo. No es tan eficiente como los métodos anteriores pero siempre funciona, incluso cuando no hay formas explícitas de la fdp, La idea es generar puntos aleatoriamente en un plano y aceptar o rechazar cada uno de ellos. Si x<f(x) se acepta, si no se rechaza. Muestreo de datos. Interpolación estocástica Monte Carlo

Modelos

Naturaleza de la Teoría de Teletráfico Modelo Proceso de entrada Mecanismo de servicio Disciplina de la disposición en cola

Naturaleza de la Teoría de Teletráfico Proceso de entrada Describe la secuencia de peticiones de servicio A veces se especifica en términos de la distribución de las duraciones entre los instantes de llegada de peticiones de servicio. Mecanismo de servicio Incluye el número de servidores y la duración del servicio (ocupación del servidor) Disciplina de cola Especifica las acciones de las peticiones que encuentran todos los servidores ocupados

Modelos de nacimiento - muerte Hipótesis de trabajo llamadas independientes tasa de llegadas en el estado i representada por i tasa de salidas en el estado i representada por i en cualquier instante de tiempo solo puede ocurrir un suceso

Diagrama de estados N puede ser  0 1 2 j-1 j n-1 1 2 3 j N-1 N 1 2 3 j N-1 N 1 2 3 j j+1 n N puede ser 

Algunas definiciones  : nº promedio de peticiones de servicio por unidad de tiempo 1/  : tiempo promedio entre peticiones de servicio Ej : estado del sistema en el que el número de “clientes” es j Pj. Proporción del tiempo en el estado j (en el que haya j servidores ocupados) Ej  Ej+1 transiciones del estado j a j+1 Pj : número de transiciones por unidad de tiempo tm : tiempo medio de duración de un servicio, tiempo medio de ocupación de un servidor

Algunas definiciones  : tasa de finalización de servicio por unidad de tiempo igual a 1/ tm. (j+1)/ tasa de finalización con j+1 servidores ocupados Ej+1  Ej transiciones del estado j+1 a j

Ecuaciones de estado

Modelo de Erlang Tasa de llamada constante, número de fuentes mucho mayor que el número de servidores. 1 2 3 j N-1 N  j j+1 n 1 2 3 N: número servidores

Erlang Número de fuentes  ... o mucho mayor que número de servidores N

Utilización 1.0 0.5 0.2 0.1 0.8 0.05 0.02 0.01 0.6 0.001 0.0001 0.4 0.2 0.0 Número de canales

Tablas Erlang-1 Cálculo de la probabi- lidad de pérdida: Datos n y A Ej n=15 A =7

Tablas Erlang-2 Cálculo de la probabi- lidad del número de servidores: Datos B y A Ej B=0.005 A =7

Tablas Erlang-3 Cálculo del tráfico ofrecido máximo Datos n y B Ej n=15 B =0.005

¿Cuál es el efecto de este comportamiento? Reintentos Se considera una situación real, al no obtener servicio se reintenta obtenerlo. ¿Cuál es el efecto de este comportamiento? Incremento en la tasa de llamadas del sistema Si consideramos que los reintentos se producen transcurridos algunos tiempos medios de llamada podemos seguir considerando equilibrio estadístico con la nueva tasa de llamada

Extended Erlang B (EEB) Se utiliza cuando se permiten reintentos. Un tanto por ciento de los llamantes reintenta cuando se encuentra todos los servidores ocupados. Algoritmo clásico con reintentos hasta obtener servicio Algoritmo (Jewitt–Shrago). Permite considerar abandonos en los reintentos

Erlang con reintentos, Algoritmo clásico

El proceso es el mismo para  o para A. Se desarrollará para A. Algoritmo El proceso es el mismo para  o para A. Se desarrollará para A. Con el tráfico ofrecido de primer intento A se calcula B Con el valor de B obtenido se calcula A’ Con el valor de A’ se obtiene un nuevo B Con B se obtiene un nuevo valor de A’ Se comparan los valores de A’ obtenidos y se itera el proceso hasta que la diferencia entre dentro del rango de precisión establecido. La serie de valores obtenidos debe ser convergente, lo cual será cierto excepto que el tráfico ofrecido sea mayor que el número de servidores.

Algoritmo No se itera con A’1

Algoritmo de Jewitt & Schrago Permite considerar abandonos en los reintentos Partiendo del tráfico ofrecido en primera instancia se calcula B Con B se calcula el tráfico rechazado Se calcula el tráfico cursado Sobre el tráfico rechazado se aplica la tasa de abandono o de reintento (son complementarias) Se calcula el tráfico cursado más el tráfico que abandona Si cursado más abandono no se acerca suficientemente a tráfico ofrecido se calcula un nuevo tráfico ofrecido como el original más el de reintento. Se repite le proceso hasta que tráfico cursado más abandono sea igual (suficientemente cercano) a tráfico ofrecido

 = tráfico ofrecido por fuente libre Engset Engset S>N 1 2 3 j N-1 N j-1 j j+1 j n-1 n 0 1 1 2 2 3 S = número de fuentes  = tráfico ofrecido por fuente libre

Engset N: número de servidores S : número de fuentes : tasa de llamada por fuente libre i: tasa de llamada en el estado i, i servidores ocupados. tm : tiempo medio de servicio. i= tasa de terminación en el estado i. El comportamiento de cada fuente se modela de la siguiente manera. Cuando la fuente está libre su tasa de llamada es constante y de valor , cuando la fuente está ocupada el valor de su tasa de llamada es cero.

Engset.

Engset que es la expresión para la congestión de tiempo, probabilidad de tener todos los servidores ocupados.

Engset

Engset. Cálculo del tráfico por fuente libre Consideraciones sobre el cálculo de  , j

Engset. Tráfico por fuente libre Pero B depende de α, por lo que hay que montar un proceso iterativo Tráfico ofrecido dividido por el número medio de fuentes libres

Algoritmo Engset Partimos de una primera aproximación de , considerando B=0 Con el valor de  se obtiene un primer valor de B Se sustituyen los valores de  y B en la fórmula de A y se compara la estimación de A así obtenida con el dato Tráfico Ofrecido, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria en nuestro cálculo  Se calcula una nueva  con el valor de B obtenido en el punto 2 Se calcula un nuevo B con el valor de  del punto 4 Se realiza una nueva estimación de A como en el punto 3, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria se repite desde el punto 4.

Engset. Fórmula recursiva B es función de N,S y  La probabilidad de pérdida con 0 servidores es 1

TABLAS DE ENGSET Grupos nuevos Procedimiento Se conoce A, S y el nivel de pérdida deseado. Se busca N Procedimiento Se busca la columna del nivel de pérdida En la columna se busca A para el número de fuentes S Se obtiene N

TABLAS DE ENGSET Grupos existentes: Procedimiento Se conoce A, N (número servidores) y S (número de fuentes) Se establece el nivel de bloqueo (pérdida )deseado Procedimiento Buscar en la tabla la fila que corresponda a N y S Buscar en la fila el valor más cercano a A La columna corresponde al valor de pérdida (interpolar en su caso) Si no es el deseado, buscar la columna de la pérdida deseada y en la misma encontrar A para el número de fuentes S , una vez encontrado S para ese A se obtiene N.

colas

Colas. Notación de Kendall D.G. Kendall estableció en 1953 la siguiente notación: A/B/c/k/s/Z A: Proceso de llegada B: Proceso de servicio c: número de canales o servidores k: capacidad del sistema s: número de fuentes Z: disciplina de la cola

A/B/c/k/s/Z Kendall Proceso de llegada Proceso de servicio M: Markoviano, random, exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General Proceso de servicio M: Markoviano, random, exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General

Kendall Número de canales 1,2,3, … ∞ Capacidad del sistema Servidores +posiciones de cola Número de fuentes Disciplina de la cola FCFS. Primero entra, primero sale LCFS. Último entra, primero sale SIRO. Servicio aleatorio GD. General RR. Round Robin

Cola M/M/N. Probabilidades de estado A partir del estado N, no puede aumentar la tasa de salida, es decir para los estados N, N+1, N+2, .... la tasa de salida es constante

Cola M/M/N. Probabilidades de estado

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola Será la probabilidad de que las peticiones entren con todos los servidores ocupados Se dará en los estados N, N+1, N+2 …. Eliminando  y poniendo todas las probabilidades de estado en función de la probabilidad [0]

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola Eliminando [0] y reordenando Que se puede simplificar Sumar y restar en el denominador el término con lo que el denominador quedaría

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola dividiendo ahora numerador y denominador por e identificando que es decir la probabilidad de pérdida de un sistema de tipo Erlang-B con un tráfico ofrecido A y N servidores. A esta fórmula se la conoce como Erlang-C o segunda fórmula de Erlang EN,2(A)

M/M/N. Longitud media de la cola Utilizando que

M/M/N. Longitud media de la cola Recordando que

M/M/N.Tiempo medio en la cola Hay dos posibles preguntas a las que responder: ¿Cuál es el tiempo medio en la cola considerando todas las peticiones de servicio? ¿Cuál es el tiempo medio de espera para las peticiones de servicio que entran en cola? El teorema de Little establece que por lo tanto

M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t Se trata de responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de permanecer en cola más de un determinado tiempo t? Para responder a esa pregunta hay que establecer la disciplina de la cola. Si la disciplina es Primero entra – Primero sale (FIFO) que es la que nos encontramos cotidianamente, si nos encontramos en la posición j de la cola, para ser atendidos tienen que producirse j terminaciones de servicio. Las terminaciones se producen con una fdp exponencial cuyo parámetro es el tiempo medio en la cola para las llamadas que entran en cola

M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t Si queremos calcular la probabilidad de que una petición de servicio cualquiera permanezca en cola más de t

M/M/N/N+L En este nuevo escenario las llamadas que lleguen con todos los servidores ocupados y todas las posiciones de cola ocupadas se “pierden”. Calcularemos expresiones para los parámetros significativos del escenario Cálculo de las probabilidades de estado

Probabilidad de pérdida M/M/N/N+L Probabilidad de pérdida

M/M/N/N+L Probabilidad de entrar en cola

Longitud media de la cola M/M/N/N+L Longitud media de la cola En general, y aunque se puede llegar a una expresión cerrada por manipulación de la fórmula anterior, es más fácil sumar los términos de la serie. Tiempo medio en la cola

Colas con abandono Se considera que la petición de servicio tiene una paciencia limitada y abandona , es el proceso natural cuando en una cola consideramos que el tiempo de espera es mayor que el que podemos aceptar. Como hipótesis para modelar el abandono aceptaremos que la tasa de abandono aumentará con la longitud de la cola, en la posición i de la cola, la tasa de abandono será: tm , no tiene significación física, se Utiliza para simplificar la expresión Tasa de terminación de llamadas en el estado i

Colas con abandono

Cola M/G/1 Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con tiempos de servicio con una distribución general . Pero con tiempos de servicio independientes. Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la cola y la longitud media de la cola. Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola por el tiempo medio de servicio + probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual

Obtención de parámetros de la M/G/1 Una petición de trabajo que llega al sistema debe esperar al tiempo residual de servicio (si el servidor está ocupado) y a los tiempos de servicio de los trabajos que le preceden en la cola (si existen) Por la propiedad PASTA conocemos que la probabilidad de que un servidor esté ocupado es de ρ Y que el tiempo medio de espera es

Cálculos Por el teorema de Little Combinando las dos ecuaciones se obtiene la fórmula de Pollacek – Khinchin

La media del tiempo residual es de Podemos también a partir de estas fórmulas calcular el tiempo total en el sistema Tiempo en cola +tiempo de servicio Y número medio de peticiones en el sistema Longitud media de la cola + ocupación media del servidor (que es igual al tráfico ofrecido)

Cálculo del tiempo residual Supongamos que una petición llega cuando se está atendiendo otra petición, y que el tiempo total del trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria), y que tendrá una f.d.p. fX(x), Para buscar esa f.d.p. observamos que la probabilidad de que llegue un trabjo estando otro en curso será mayor si la duración del trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X sera de longitud x deberá ser proporcional a la longitud x y a la frecuencia con la que se produzca esa longitud

Cálculo tiempo de vida residual

Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir en cualquier momento de la vida del trabajo en curso con igual probabilidad, tendrá su media en la mitad de X