Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera pero no ambas cosas a la vez Ejemplos: ¿ Son los siguientes enunciados proposiciones?. La tierra es cuadrada. ¿Habla usted francés?. ¿Qué hora es?. Buenas tardes 1+1=3. !Ayúdeme por favor!. 7 es mayor que 9. Luisa estudia medicina.

Los conectivos lógicos son las palabras como y, o, no, si…entonces, que permiten combinar proposiciones simples para producir otras, llamadas proposiciones compuestas. Sus símbolos son: ~ negación conjunción disyunción disyunción exclusiva condicional bicondicional

Negación ~ V F

Conjunción V F p : Martha estudia medicina q : Luisa estudia ingeniería V F

Conjunción V F

Disyunción V F p : Martha estudia medicina q : Luisa estudia ingeniería V F

Disyunción V F

Disyunción exclusiva V F p: El niño va al circo q : El niño va al parque V F

Disyunción exclusiva V F

Cuál será el valor de verdad de: Si 4<6 entonces 16<36 V Si 4<6 entonces 16>36 F Si 4>6 entonces 16<36 V Si 4>6 entonces 16>36 V

Implicación o condicional V F

p: El triángulo es equilátero q: El triángulo es equiángulo V F

Doble implicación, bicondicional o equivalencia F

Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Si la proposición es una equivalencia, se dice que las dos proposiciones que ella conecta son lógicamente equivalentes. Si es una implicación, la primera proposición implica lógicamente a la segunda. Ejemplo: V F

Ejemplos de tautologías:

Ejemplos: Un predicado es una frase en la cual intervienen variables, se transforma en proposición al ser reemplazadas las variables por constantes. Ejemplos: tiene las orejas largas persigue a los conejos tiene la cola corta le da rabia

La muerte de Tarzán Nos dan las siguientes proposiciones: Los perros que tienen las orejas largas, tienen la cola corta. A los perros que persiguen a los conejos, nunca les da rabia. c) Los perros que no persiguen a los conejos, tienen la cola larga. Hipótesis: Tarzán murió de rabia. Pregunta: ¿Cómo tenía las orejas Tarzán?.

Tarzán tenía las orejas cortas Desarrollo: Como entonces a), b), y c) se pueden escribir en la forma Por lo tanto: Para x= Tarzán es verdadera, de donde se desprende que es verdadera. Por lo tanto Tarzán tenía las orejas cortas

El dilema de la música Si voy a cine o trasnocho, entonces, me enfermo. Si voy a cine o me enfermo, entonces, sufro mucho. Si escucho música en la noche, entonces, trasnocho. Hipótesis: !Yo no sufro!. Pregunta: ¿Escuché música en la noche?.

|No escucho música! Desarrollo: Sean: voy a cine trasnocho me enfermo sufro Escucho música Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones. Como s es falso es falso, luego es falso y es falso. Por lo tanto es falso, de donde es falso, y por lo tanto es falso, luego: |No escucho música!

El estado de ánimo Si no tomo leche y fumo, entonces, no crezco. Si tomo leche o no crezco, entonces, me pongo triste. Si estoy melancólico, entonces, fumo. Hipótesis: !Estoy contento!. Pregunta: ¿Estaré melancólico?.

|No estoy melancólico| Desarrollo: Sean: Tomo leche Fumo Crezco Estoy triste Estoy melancólico Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones. Como s es falso es falso, luego es falso y es verdadera. Por lo tanto es falso, de donde es falso, y por lo tanto es falso, luego: |No estoy melancólico|

LA SELECCION IDEAL El entrenador de la Selección Colombia de fútbol ha llamado a los siguientes cuatro jugadores: Adolfo, Bernardo, Carlos y Diego para que jueguen en los puestos de Portero, Defensa Central, Medio Campo y Puntero Derecho aunque no necesa- riamente en correspondencia con el orden enunciado. Después de observarlos en varios entrenamientos ha llegado a las siguientes conclusiones:

Si Adolfo no es defensa central, Carlos no juega en el medio campo. Si Bernardo juega en el Medio Campo o en la punta derecha, Adolfo es defensa central. Si Carlos no es Portero, Bernardo es puntero derecho. Si Diego juega en el medio campo, Bernardo no es defensa central. Si Diego no es defensa central, Bernardo es defensa central. ¿En que puesto debe jugar cada uno?.

Solución : Sean: A=Adolfo, B=Bernardo, C=Carlos y D=Diego p(x)= x es portero dc(x)= x es defensa central mc(x)= x juega en el medio campo pd(x)= x es puntero derecho. Así el problema escrito en forma simbólica se transforma en:

dc(A)  mc(C) (2) (mc(B)  pd(B))  dc(A) (3) p(C)  pd(B) (4) mc(D)  dc(B) (5) dc(D)  dc(B) Si mc(D) es V entonces dc(B) es V, luego dc(B) es F y en (5) tenemos que dc(D) es F, luego dc(D) es V lo cual es imposible ya que mc(D) es V, por lo tanto mc(D) es F.

Supongamos que mc(C) es V, entonces mc(C) es F por (1), luego dc(A) es F y por lo tanto dc(A) es V, de donde dc(B) es F y dc(D) es F, pero esto implica que (4) es F, lo cual es una contradicción. De donde mc(C) es F. Supongamos que mc(B) es V, entonces dc(A) es V por (2), Luego dc(D) es F y dc(B) es F, lo cual nos conduce a una contradicción por (4), por lo tanto mc(B) es F. De lo anterior se deduce que mc(A) es V.

Por otra parte, como mc(B) y dc(A) son F, entonces por (2) se tiene que pd(B) es F. Luego de (3) podemos concluir que p(C) es F, de donde p(C) es V. Como pd(B) es F, pd(A) es F y pd(C) es F entonces pd(D) es V y por exclusión tenemos que dc(B) es V. De lo anterior se concluye que: Adolfo debe jugar en el medio campo Bernardo debe jugar de defensa central Carlos debe jugar de portero Diego debe jugar de puntero derecho.

Dado el predicado p(x) el enunciado Se lee “para todo x p(x)”, y es verdadero si el conjunto de verdad de p(x) es el universo completo. El símbolo se denomina el cuantificador universal Ejemplos:

Dado el predicado p(x) el enunciado Se lee “existe x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjunto de verdad de p(x) no es vacío. El símbolo se denomina el cuantificador existencial Ejemplos:

EJERCICIO: Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica: Existe un número primo que no es impar. Existe en Colombia una inteligencia superior. Todos los que no están de acuerdo conmigo son terroristas. Existe un número natural que es el menor de todos Todo número real positivo es un cuadrado. Todos los perros ladran. Dada la proposición condicional p(x) el enunciado Se lee “existe un único x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjunto de verdad de p(x) consta exactamente de un solo elemento.

La negación de la proposición es: EJERCICIO: Escribir la negación de las proposiciones dadas en el ejercicio anterior EJERCICIO: Escribir la negación de las siguientes proposiciones:

Extensión y Comprensión Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {a, e, i, o, u} B = {blanco, gris, negro} C = {2, 4, 6, 8, 9} D = {x|x es un país de América Latina Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.

Conjuntos determinados por extensión y por Comprensión A = {x|x es un número primo menor que 50} A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} B = {x|x es un entero mayor que -3} B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } C = {x|x es un número par y primo} C = {2}

Consideremos el conjunto D = {x | x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }. OJO {∅} NO es el conjunto vacío, es un conjunto con un elemento.

U

Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X | X ⊆ A}. Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A. Ejemplos: Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Sea A = {a, b, c}. P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene elementos.

U

U

U

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

DIAGRAMAS DE VENN A = {1,3,5,7,9}, B ={1, 2}, C={2,4,6,9} y D={ 5, 6} Construimos un Diagrama de Venn, tratando en lo posible que exista la mayor cantidad de intersecciones entre los diferentes conjuntos. Ejemplo: Sean los siguientes cuatro conjuntos: A = {1,3,5,7,9}, B ={1, 2}, C={2,4,6,9} y D={ 5, 6}

DIAGRAMAS DE VENN Ahora, procedemos a efectuar las operaciones: 1) A U B Para determinar A U B buscamos los elementos que están dentro del circulo amarillo más los que están dentro del azul.                                               A U B = {1, 3, 5, 7, 9} U { 1, 2} = {1, 2, 3, 5, 7,9} 1 3 5 2 7 9

DIAGRAMAS DE VENN 2) A U C Para determinar A U C buscamos los elementos están dentro del circulo amarillo más los que están dentro del rosado.                                             A U C = {1, 3, 5, 7, 9} U {2, 4, 6, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} 1 3 5 7 9 2 4 6

DIAGRAMAS DE VENN 3) B U D B U D contiene los elementos que están dentro del circulo azul más los que están dentro del violeta. 5 2 6 B U D = {1, 2} U {5, 6} = {1, 2, 5, 6} 1

DIAGRAMAS DE VENN 3) A U B U D. Contiene los elementos que están dentro de los círculos amarillo, azul y violeta. 1 3 5 2 7 9 6 A U B U D = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}

DIAGRAMAS DE VENN 4) A U B U C U D 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 4 A U B U C U D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

A B C U