04/10/03Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría Axiomática General de Agregados (V) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos2 Contenido Axioma de Reemplazo Funciones Naturales según Peano Naturales según Zermelo Agregados Bien Fundados Políadas

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos3 Axioma de Reemplazo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos4 Df. EsUnvc EsUnvc(y)(x) =a  z (z  Intsc(y)(Dom(x))   !u (u  x  EsParOrd(u)  z = Prm(u))) EsUnvc(y)(x) =s x es unívoco en y

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos5 Ts. EsUnvc EsVacio(Intsc(y)(Dom(x)))  EsUnvc(y)(x) EsMinimal(x)  EsMinimal(y)  EsUnvc(y)(x) EsUnvc(y)(x)  z  y  EsUnvc(z)(x) EsUnvc(y)(x)  z  x  EsUnvc(y)(z)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos6 Ax. de Reemplazo EsUnvc(a)(x)  EsClase(Img(x)(a))  EsElemento(Img(x)(a))

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos7 Resumen de Axiomas (I) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos8 Resumen de Axiomas (II) 9. Reemplazo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos9 Ts. de Reemplazo EsElemento(0Z) EsIntegrante(0Z) EsConjunto(0Z)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos10 El vacío es un conjunto 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos11 Si todo agregado es clase 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos12 El universo de NBG 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos13 Funciones

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos14 Df. ResAp ResAp(z)(y)(x) =a  u (u  z  EsParOrd(u)  u = ParOrd(y)(x) ) ResAp(z)(y)(x) =s x es un resultado de aplicar z a y

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos15 Ts. ResAp  x ResAp(z)(y)(x)  y  Dom(z)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos16 Df. EstaDef EstaDef(y)(x) =a  z ResAp(x)(y)(z) EstaDef(y)(x) =s x está definido para y

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos17 Ts. EstaDef EstaDef(y)(x)  y  Dom(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos18 Df. EstaDet EstaDet(y)(x) =a  !z ResAp(x)(y)(z) EstaDet(y)(x) =s x está determinado para y

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos19 Ts. EstaDet EstaDet(y)(x)  EstaDef(y)(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos20 Df. DomS DomS(x) = y =a EsAgregado(y)   z (z  y  EstaDet(z)(x)) DomS(x) =s el dominio de singularidad de x

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos21 Ts. DomS  y (y  x ¬ EsParOrd(y))  DomS(x) = 0Z EsMinimal(x)  DomS(x) = 0Z DomS(x) = y  EsAgregado(y)  y  Dom(x)  DomS(Nucleo(x)) = y  EsUnvc(y)(x)  (EsUnvc(z)(x)  Intsc(z)(Dom(x)))  y)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos22 Df. Ap Ap(y)(x) = z =a EstaDet(x)(y)  ResAp(y)(x)(z) Ap(y)(x) =s la aplicación de y a x y(x) =a Ap(y)(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos23 Ts. Ap Ap(y)(x) =  z ResAp(y)(x)(z) DomS(y) = u  x  u   !z Ap(y)(x) = z

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos24 Df. EsFuncion EsFuncion(x) =a EsRelacion(x)  EsUnvc(Dom(x))(x) EsFuncion(x) =s x es una función

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos25 Ts. EsFuncion EsFuncion(x)  DomS(x) = Dom(x) DomS(x) = Dom(x)  EsFuncion(Nucleo(x))

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos26 Df. EsOperacion EsOperacion(x) =a EsFuncion(x)  EsRelacion(Dom(x)) EsOperacion(x) =s x es una operación

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos27 Naturales según Peano

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos28 Df. EsFunSuc EsFunSuc(x) =a EsFuncion(x)  Rng(x)  Dom(x)   EsFuncion(Inv(x))   y (y  Dif(Rng(x))(Dom(x))   z (z  Dom(x)  y  z   u (u  x  (Prm(u)  z  Sgd(u)  z))   Dom(x)  z ) ) EsFunSuc(x) =s x es una función de sucesión

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos29 Ts. EsFunSuc EsFunSuc(x)  y  Dif(Rng(x))(Dom(x))   z (z  Dif(Rng(x))(Dom(x))  z = y) EsFunSuc(x)  !y (y  Dif(Rng(x))(Dom(x))

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos30 Df. Naturales de Peano 0P(x) = y =a EsFunSuc(x)   y  Dif(Rng(x))(Dom(x)) 0P(x) =s el cero de Peano de x 1P(x) = y =a EsFunSuc(x)  y = x(0P(x)) 1P(x) =s el uno de Peano de x … ’P(x) = y =a EsFunSuc(x)  y = x( P(x)) ’P(x) =s el ’ de Peano de x

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos31 Diagrama de función de sucesión 0P(x) 1P(x) 2P(x) 3P(x) 4P(x) xxxxx

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos32 Naturales según Zermelo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos33 Df. SucZ SucZ(x) = y =a EsAgregado(y)   z (z  y  z = x) SucZ(x) =s el sucesor de x según Zermelo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos34 Ts. SucZ SucZ(x) = Atm(x) EsIntegrante(x)  y SucZ(x) = y  x SucZ(a) = x SucZ(x) = y  EsIntegrante(y) EsIndivQ(x)  SucZ(x) = x

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos35 Df. EsNatZ EsNatZ(x) =a x = 0Z   y (EsNatZ(y)  x = SucZ(y)) EsNatZ(x) =s x es natural según Zermelo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos36 Ts. EsNatZ SucZ(x) = y  y  0Z SucZ(x) = SucZ(y)  x = y EsFuncion(x)  z (z  x  EsNatZ(Prm(z))  Sgd(z) = SucZ(Prm(z)) )  EsFunSuc(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos37 Df. de naturales Zermelo 1Z =a SucZ(0Z) 2Z =a SucZ(1Z) 3Z =a SucZ(2Z)... ’Z =a SucZ( Z) Z : 2Z 1Z 0Z EsMbr

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos38 Df. NatZ NatZ = x =a EsAgregado(x)   y (y  x  EsNatZ(y)) NatZ =s los naturales según Zermelo

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos39 Agregados Bien Fundados

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos40 Df. AgrBnFnd EsAgrBnFnd(x) =a EsVacio(x)   y (y  x   z (z  y  z x )) EsAgrBnFnd(x) =s x es un agregado bien fundado

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos41 Ts. AgrBnFund EsAgrBnFnd(x)  EsAgregado(x) EsVacio(x)  EsAgrBnFnd(x) ¬ EsAgrBnFnd(x)  EsAgrupacion(x)  EsIndividuo(x)  x (EsMinimal(x)  x  y)  EsAgrBnFnd(y) ¬ EsAgrBnFnd(x)   y (y  x  EsAgrupacion(y))

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos42 Df. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x) =a EsAgregado(x)   ¬ EsAgrBnFnd(x) EsAgrNoBnFnd(x) =s x es un agregado no bien fundado

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos43 Ts. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x)  EsAgrupacion(x)   y (y  x   z (z  y  z x )) x  x  EsAgrNoBnFnd(Atm(x)) x  y  y  x  EsAgrNoBnFnd(Par(y)(x)) Atm(x) = x  x  x x 1  x 2  x 2  x 3  …  x n-1  x n  x n  x 1   y (y  z  y = x 1  y = x 2  …  y = x n-1  y = x n )  EsAgrNoBnFnd(z) EsIndivQ(x)  EsAgrNoBnFnd(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos44 Ts. AgrBnFnd (2) EsNatZ(x)  SucZ(x)  x EsNatZ(x)  x  x EsNatZ(x)  EsAgrBnFnd(x NatZ = x  EsAgrBnFnd(x)

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos45 Políadas

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos46 Notación de naturales 0 =a 0P(x)  0Z  … 1 =a 0P(x)  0Z  … 2 =a 0P(x)  0Z  … … n =a P(x)  Z  … Suc(n) =a ’P(x)  ’Z  …

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos47 Df. EsPoliAdi EsPoliAdi(n)(x) =a (¬ EsParOrd(x)  n = 1)  (EsParOrd(x)  (  k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x))  n =Suc(k)) ) EsPoliAdi(n)(x) =s x es una políada de adicidad n

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos48 Df. Pol Pol(x 1 ) =a x 1 Pol(y)(x n )…(x 2 )(x 1 ) = z =a x = Pol(x n )…(x 2 )(x 1 )  z = ParOrd(y)(x)  x 1,x 2,…,x n  =a Pol(x n )…(x 2 )(x 1 )

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos49 Ts. EsPoliAdi ¬ EsParOrd(x)  EsPolAdi(1)(x)  EsPolAdi(2)(  x,y  )  EsPolAdi(3)(  x,y ,z  )  …

04/10/03Jorge Baralt-Torrijos50 Políadas de adicidad n  x 1  =a x 1  x 1,x 2  =  x 1 ,x 2   x 1,x 2,x 3  =a  x 1,x 2 ,x 3 ...  x 1,x 2,…,x n  =a  x 1,x 2 ,…,x n 