Probabilidad La probabilidad forma parte de nuestra vida diaria. Cuando se escucha el pronóstico del tiempo según el cual hay un 80% de probabilidad de lluvia, lo más aceptable es que tome precaución al salir, de llevar consigo un paraguas.

Experimento Es todo proceso que produce una observación o medición. Ejemplos: Lanzar una moneda al aire, lanzar un dado sobre una mesa, entre otros.

Evento Es el resultado parcial de un experimento. Ejemplos: Lanzamientos de la moneda: Letra, escudo. Lanzamiento del dado: 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6.

Espacio muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Por lo general se designa con S. Ejemplos: Lanzamiento de la moneda - 𝑆= 𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑑𝑜 Lanzamiento del dado - 𝑆= 1, 2, 3, 4, 5, 6

Definición de probabilidad Es la posibilidad de que ocurra algo. El cálculo de probabilidad tiene aplicación en todos los aspectos de la vida: en la ciencia, en el comercio, en la educación, en las comunicaciones, entre otros.

Concepto clásico de probabilidad Si hay 𝑛 posibilidades igualmente probables, de las cuales una deberá ocurrir y junto con 𝑠 se consideran favorables, o como un “triunfo” o “éxito”, entonces la probabilidad de que haya un triunfo o éxito es: 𝑃 𝐴 = 𝑠 𝑛 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅= 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒓 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

Ejemplos de probabilidad

Ejemplos de probabilidad 1.¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja de 52 cartas de juego? 2.¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado?

Ejemplos de probabilidad 3. Una ruleta tiene inscritos los números del 1 al 20 encontrándose estos igualmente espaciados. Se le da vueltas y después se detiene en forma aleatoria, en alguno de los números A . ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en el número 14? B. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en un número par? C. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en el número 15 u otro más grande?

Colegios y universidades probabilidad Se envía una encuesta a 358 directores de recreación en colegios y universidades. A continuación se muestra el resumen de las matrículas de tales centros de enseñanzas. Matrícula Colegios y universidades 0 – 1249 1250 – 2499 2500 – 4999 5000 – 9999 10000 – 17999 18000 o más 58 53 62 68 64 Total 358

probabilidad Se selecciona al azar una de los 358 colegios / universidades. Encontrar las probabilidades de los siguientes eventos: La matrícula de la escuela era menor de 2500 estudiantes. La matrícula de la escuela era de 10000 o más. La matrícula de la escuela era entre 2500 y 9999 estudiantes. ¿Qué porcentajes de escuelas tienen matrícula menor de 5000 estudiantes? ¿Qué porcentaje de escuelas tienen matrícula mayor o igual que 10000 estudiantes? ¿Qué porcentaje de escuelas tienen entre 2500 y 10000 estudiantes?

Reglas básicas de la probabilidad 1. Las probabilidades son números reales que están en el intervalo 0, 1 . 0≤𝑃 𝐴 ≤1 Si se tiene la certeza de que siempre ocurrirá un evento, su probabilidad es 1. Y si se tiene la certeza de que nunca ocurrirá, su probabilidad es 0. 𝑃 𝑆 =1 𝑃 ∅ =0

Reglas básicas de la probabilidad 3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes o mutuamente exclusivos ( o sea que no pueden ocurrir al mismo tiempo, 𝐴∩𝐵=∅), la probabilidad de que uno o el otro ocurran es igual a la suma de probabilidades. 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵

Reglas básicas de la probabilidad 4. La suma de las probabilidades de que ocurra un evento 𝑃 𝐴 y de que no ocurra 𝑃 𝐴′ es igual a 1. 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐴′ =1 5. Si 𝐴∩𝐵=∅ entonces 𝑃 𝐴′∩𝐵′ =1−𝑃 𝐴∪𝐵

probabilidad Ejemplo 1. Si A es el evento de que un estudiante se quedará en casa; B el evento de que irá al cine; 𝑃 𝐴 =0.64 y 𝑃 𝐵 =0.21, determinar: 𝑃 𝐴′ 𝑃 𝐴𝑈𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵

Probabilidad Ejemplo 2. Si C es el evento de que a las 9:30 a.m. un cierto médico esté en su consultorio y D es el evento de que esté en el hospital; 𝑃 𝐶 =0.48 y 𝑃 𝐷 =0.27. Determinar la probabilidad de que: No esté en el consultorio. No esté en el hospital. No esté en el consultorio ni en el hospital. Que esté en el hospital y en el consultorio.

probabilidad Ejemplo 3. El secretario de un sindicato, redactó una lista con un conjunto de demandas salariales y de prestaciones que se presentará al gerente de la empresa. Para darse una idea del grado de apoyo que existe entre los trabajadores con respecto al paquete de demandas, hizo un sondeo aleatorio entre los dos grupos principales de trabajadores, los maquinistas (M) y los inspectores (I). Tomó 30 trabajadores de cada grupo con los resultados siguientes:

Opinión sobre el paquete M T Apoyo fuerte Apoyo leve Indecisos Levemente opuestos Fuertemente opuestos 9 11 2 4 10 3 8 7 probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista, seleccionado al azar del grupo sondeado, apoye levemente el paquete? ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector, seleccionado al azar del grupo sondeado, esté indeciso con respecto al paquete? ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector), seleccionado al azar del grupo sondeado, apoye el paquete, ya sea fuerte o levemente?

Distribución de probabilidad: Distribución normal La distribución normal es una distribución continua de probabilidad. Se le da el nombre de Distribución de Gauss. La representación gráfica de esta distribución es una curva en forma de campana.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Características de la distribución normal de probabilidad. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. La media, la mediana y la moda de la distribución se encuentra en el centro de la curva normal representada por una recta, todas ellas tienen el mismo valor. Es simétrica con respecto a la recta que está en el centro. Las “colas” o “extremos” de la curva de la distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Uso de la tabla Z. El área bajo la curva normal es 1.00 de manera que se puede pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Uso de la tabla Z. El valor de 𝑧 es considerado como una variable aleatoria estandarizada o normalizada ya que sus unidades de medida son desviaciones estándares. El valor de 𝑧 se calcula con la siguiente fórmula: 𝑧= 𝑥−𝜇 𝜎 Donde: 𝑥=valor de la variable aleatoria a estudiar. 𝜇= media de la distribución de la variable aleatoria. 𝜎=desviación estándar de la distribución. 𝑧=número de desviaciones estándar que hay desde x hasta la media de la distribución.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Esquema 100%.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Esquema 50%.

Distribución de probabilidad: Distribución normal Uso de la tabla Z . Tabla z. Ejemplo 1: Calcular el valor del área bajo la curva normal entre 0 y z = 1.52. 𝑃 0<𝑧<1.52 Ejemplo 2: Calcular el valor del área bajo la curva entre z = -2.05 y 0. 𝑃 −2.05<𝑧<0

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. El área de z=0 hasta 𝑧= 𝑧 1 positivo, es igual al área desde 𝑧= 𝑧 1 negativo hasta z=0 . Ejemplo. 𝑧 positivo – negativo

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Los porcentajes de área se encuentran así: Los valores de 𝑧 completados en la tabla van desde 0 hasta 4. El valor 𝑧 debe ser escrito como un número con dos decimales. Ejemplo. Si 𝑧=1, escribiremos 𝑧=1.00. Si 𝑧=1.3, escribiremos 𝑧=1.30. Si 𝑧=1.253, escribiremos 𝑧=1.25

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Se puede encontrar cualquier porción de área que se necesite así: Esquema A

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Se puede encontrar cualquier porción de área que se necesite así: Esquema B

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Se puede encontrar cualquier porción de área que se necesite así: Esquema C

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Se puede encontrar cualquier porción de área que se necesite así: Esquema D

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Se puede encontrar cualquier porción de área que se necesite así: Esquema E

Distribución de probabilidad: Distribución normal Área bajo la curva normal. Calcular el área (A) bajo la curva normal y la probabilidad (P) asociada al intervalo respectivo. 1. A la derecha de 𝑧=1.52. 2. A la izquierda de 𝑧=1.52. 3. Entre 0 𝑦 𝑧=−2.1. 4. A la izquierda de 𝑧=−1.35. 5. Entre 𝑧=−1.5 𝑦 𝑧=2.1. 6. Entre 𝑧=0.7 y z=2.1.