REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO INGRESO EXP S 11 1 INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u Esta presentación proporciona una interpretación geométrica de un modelo de regresión multiple con dos variables explicativas.

INGRESO EXP S 11 2 INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u Especificamente, pondremos atención en una función del ingreso en la que el ingreso por hora, INGRESO, depende de los años de educación (el mayor grado alcanzado), S, y los años de experiencia laboral, EXP. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

INGRESO EXP S 11 3 INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u El modelo tiene tres dimensiones, cada una correspondiente a INGRESO, S, y EXP. El punto inicial para averiguar la determinación del INGRESO es el intercepto,  1. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

INGRESO EXP S 11 4 Literalmente, el intercepto otorga un ingreso a aquellos entrevistados que no tienen educación, ni experiencia laboral. Sin embargo, no hubo entrevistados con menos de 6 años de educación. Por lo que una intepretación literal de  1 sería incorrecta. INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

5 INGRESO EXP El siguiente término del lado derecho de la ecuación proporciona el efecto de la variación en S. Un incremento de un año en S ocasiona un incremento de  2 dólares en el INGRESO, manteniendo EXP constante. S 11 efecto puro de S  1 +  2 S INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

Efecto puro de EXP 6 S 11  1 +  3 EXP INGRESO EXP INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u De la misma manera, el tercer término proporciona el efecto de la variación en EXP. Un año de incremento en EXP produce un aumento de  3 dólares en el INGRESO, manteniendo S constante. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

pure EXP effect pure S effect 7 S 11  1 +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP INGRESO EXP  1 +  2 S Efecto combinado de S y EXP INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u  1 +  2 S Diferentes combinaciones de S y EXP producen un incremento en el valor de INGRESO, el cual se describe en el plano que se muestra en el diagrama, definido por la ecuación INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP. Este es el componente no-estocástico (no aleatorio) del modelo. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

pure EXP effect pure S effect 8 S 11  1 +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP + u INGRESO EXP  1 +  2 S Efecto combinado de S y EXP u INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u  1 +  2 S El elemento final del modelo es el término de error, u. Este término causa que el valor real de INGRESO se desvíe del plano. En esta observación, u tiene un valor positivo. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

pure EXP effect pure S effect 9 S 11  1 +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP + u INGRESO EXP  1 +  2 S Efecto combinado de S y EXP u INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u  1 +  2 S Una muestra consiste en un número de observaciones generadas de esta manera. Observe que la interpretación del modelo no depende de si S y EXP están correlacionadas o no.

pure EXP effect pure S effect 10 S 11  1 +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP  1 +  2 S +  3 EXP + u INGRESO EXP  1 +  2 S efecto combinado de S y EXP u No obstante, sí asumimos que los efectos S y EXP en el INGRESO son aditivos. El impacto de una diferencia entre S e INGRESO no es afectada por el valor de EXP, o vice versa. INGRESO =  1 +  2 S +  3 EXP + u  1 +  2 S

Los coeficientes de regresión se derivan utlizando el principio de mínimos cuadrados empleado en el análisis de regresión simple. El valor estimado de Y en la observación i depende de nuestra elección de b 1, b 2, y b REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

El residual e i en la observación i es la diferencia entre los valores reales y los valores estimados de Y. 12 REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

Definimos RSS, la suma de los cuadrados de los residuales, y elegimos b 1, b 2, y b 3 para minimizarlo. 13 REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

Primero expandimos la RSS como se muestra y después utilizamos las condiciones de primer orden para minimizarlo. 14 REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

Como resultado, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnita. Resolviendo para b 1, b 2, y b 3, obtenemos la expresión que se muestra arriba. (La expresión para b 3 es la misma que para b 2, con los subíndices 2 y 3 intercambiados por todos lados) 15 REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

16 La expresión para b 1 es una extensión bastante directa de la expresión utilizada en el análisis de regresión simple. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

17 Sin embargo, la expresión de los coefiecientes de la pendiente son considerablemente más complejos que los coeficientes de la pendiente en el análisis de regresión simple. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

18 Para el caso general, cuando hay múltiples variables explicativas, el álgebra ordinaria es inadecuada. Es necesario usar algebra matricial. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

. reg EARNINGS S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Este es el resultado de una regresión de la función del ingreso utilizando la base de datos REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

. reg EARNINGS S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | La tabla indica que el ingreso aumenta $2.68 por cada año extra de educación y $0.56 por cada año extra de experiencia laboral. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

. reg EARNINGS S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Literalmente, el intercepto indica que un individuo que no tenga educación o experiencia laboral tendrá un ingreso por hora de –$ REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

. reg EARNINGS S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Obviamente, esto es imposible. El valor mínimo de S en la muestra era de 6. Obtuvimos una estimación que no tiene sentido debido a una inferencia que va más allá del rango de datos. REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO