FÍSICA DE SEMICONDUCTORES Mecánica Cuántica Carlos Andrés Méndez Tafur -fsc23Carlos- 14/06/15

Ecuación de Schrodinger - Concepto de Sistema Cuántico - Exprese unos postulados básicos ó definiciones fundamentales A partir del Principio de Conservación de la Energía arme la Ecuación de Schrodinger Función de onda. Exprese qué es la solución de la Ec de Sch.. y que contiene toda la información del Sistema Cuántico que describe

Ecuación de Schrodinger Un sistema cuántico se define como un conjunto de partículas cuánticas en un espacio potencial, moviéndose en un ambiente de campo eléctrico o diferentes potenciales. La ecuación de Schrödinger describe de forma precisa la interacción de partículas con campos potenciales, tal como electrones dentro de átomos. Cada partícula en un sistema físico, esta descrita por una función de onda Ψ (x,y,z,t). Esta función y su derivada espacial, son continuas, finitas y de valor único. La probabilidad de encontrar una partícula con función de onda Ψ en un volumen “ dx dy dz “ está dado por: “ Ψ* Ψ dx dy dz ”. Una vez se encuentra la función de onda para la partícula, se puede calcular su posición media, su energía y su momento dentro de los límites del principio de incertidumbre.

Obtención de la ecuación de Schrodinger Partiendo de la ecuación clásica de la energía de una partícula: Cambiando por la forma de operador usada en mecánica cuántica: Obteniendo la ecuación de onda, dependiente de tiempo y espacio. Se usa la técnica de separación de variables para calcular estas dependencias por separado: 1 2𝑚 ∗ 𝜌 2 +𝑉=𝐸 − ℏ 2 2𝑚 ⋅ 𝜕 2 𝜓(𝑥,𝑡 𝜕 𝑥 2 +𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)=− ℏ 𝑗 𝜕𝜓(𝑥,𝑡 𝜕𝑡 − ℏ 2 2𝑚 ⋅ 𝜕 2 𝜓(𝑥 𝜕 𝑥 2 ⋅𝜙(𝑡)+𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)𝜙(𝑡)=− ℏ 𝑗 𝜓(𝑥) 𝜕𝜙(𝑡 𝜕𝑡

Obtención de la ecuación de Schrodinger Logrando obtener de esta manera una ecuación dependiente del tiempo en una dimensión. Y una independiente del tiempo, la cual será la que se tendrá en cuenta ya que generalmente los problemas de este tema son independientes del tiempo. 𝑑𝜙(𝑡 𝑑𝑡 + 𝑗𝐸 ℏ 𝜙(𝑡)=0 𝑑 2 𝜓(𝑥 𝑑 𝑥 2 + 2𝑚 ℏ 2 [𝐸−𝑉(𝑥)]𝜓(𝑥)=0

Solución de la ecuación de Schrodinger Se puede observar que la separación de la constante E corresponde a la energía de la partícula cuando se obtiene una solución particular. Aplicando notaciones algebraicas y métodos de solución para ecuaciones diferenciales se obtendrá: La información que se obtienes es: La constante A es la amplitud de la función de onda y será evaluada en condiciones de normalización. A través de los posibles múltiplos de k se encuentran los valores cuantizados de energía para cada estado. Obteniendo las funciones de onda se pueden obtener funciones de densidad de probabilidad. También se conocerán las condiciones de frontera, que nos arrojan un valor 0 para los bordes. 𝛹=𝐴 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 𝑖𝑘𝑥 =𝐴sin(𝑘𝑥)+𝐵cos(𝑘𝑥

Solución de la ecuación de Schrodinger A continuación se ilustran los diagramas de energía potencial, función de onda para los tres primeros estados cuánticos y distribución de densidad de probabilidad. (tomado del libro guía).