Diseño de controladores mediante el lugar de las raíces ITESM Campus GDL Dr. Jorge Rivera Dominguez Ingeniería de control

Diseño de controladores mediante el lugar de las raíces Tipos de controladores a diseñar: Controlador en adelanto Controlador en atraso Controlador de adelanto-atraso Sintonización fina de PID’s Cabe destacar que estos mismos controladores se pueden diseñar también con técnicas de la respuesta en frecuencia (Bode, Nyquist y Nichols).

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Recordando los sistemas de segundo orden

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Triangulación de los polos complejos

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 1.- Subamortiguado Respuesta transitoria oscilatoria 2.- Amortiguamiento critico Respuesta empieza a oscilar 3.- Sobreamortiguado Respuesta nunca oscila 4.- No amortiguado Respuesta oscilatoria o inestable

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Para un criterio del 2% 5%

Efecto de la adición de polos La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta.

Efecto de la adición de ceros La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda , con lo cual el sistema tiende a ser más estable y se acelera el asentamiento de la respuesta.

Condiciones de ángulo y magnitud Considere el siguiente sistema Tiene como ecuación característica a:

Condiciones de ángulo y magnitud Lo que implica que Entonces la condición de ángulo es Y la condición de magnitud es

Condiciones de ángulo y magnitud Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como la de magnitud son las raíces de la ecuación característica o los polos en lazo cerrado. El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo. La raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor especifico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

Controlador en adelanto La función de transferencia del controlador en adelanto es

Controlador en adelanto Los parámetros se eligen de tal forma que el controlador en conjunto con la planta satisfacen los requerimientos de respuesta transitoria en lazo cerrado, satisfaciendose las condiciones de ángulo y magnitud.

Controlador en atraso Función de transferencia del controlador en atraso

Controlador en atraso Cuando el sistema ya exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria pero no de la respuesta en estado estable, significa que el controlador no debe modificar de forma significativa los polos en lazo cerrado para conservar la respuesta transitoria; solo debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida que se necesite.

Controlador en atraso Esto se logra con el compensador en atraso. De modo que para que el controlador no afecte demasiado la respuesta transitoria debe de aportar una cantidad muy pequeña de ángulo, por ejemplo 5°.

Controlador en atraso Recordando la constante de error de velocidad Kv: Si N=0, Si N=1, Si N>=2

Controlador en atraso Si se desea disminuir el error en estado estable finito para entradas rampas, se tiene que aumentar el Kv. Ahora, la constante de error de velocidad es

Controlador en atraso Entonces la nueva constante de error de velocidad se incrementa en un factor de en donde . El polo y el cero del controlador deben de ponerse cerca del origen y la razón entre el valor del cero y del polo escogidos debe ser igual al valor de .

Controlador de adelanto-atraso La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación en atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta. Entonces si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la de estado estable, se debe de usar un controlador de adelanto-atraso.

Controlador de adelanto-atraso Función de transferencia de un controlador de adelanto-atraso. Suponga que Kc pertenece a la parte de adelanto del controlador de adelanto-atraso.

Sintonización fina de PID’s Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols en realidad son un punto inicial para la verdadera sintonización del PID. El PID aporta dos ceros, un polo en el origen y una ganancia. La sintonización fina es mediante el lugar de las raíces, moviendo los ceros y la ganancia del PID para obtener una respuesta optima.

Sintonización fina de PID’s En general tenemos que en L.C.: Los ceros deben de moverse de tal forma que los polos que no sean dominantes, se acerquen demasiado a los ceros mediante el incremento de la ganancia y así prácticamente se anulen. Procurar también que mediante la ganancia y la ubicación de los ceros, los polos dominantes se encuentren en regiones deseadas.