Repaso de clase anterior Simulación de distribuciones, el método de Monte Carlo P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Varianza, Propiedades de Esperanza y Varianza, Covarianza, Correlación. Para una variable X con valor esperado finito, su varianza es   Var(X) = E{(X-E(X))2} = E(X2)-(E(X)2) La varianza es una medida de dispersión. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

X1,..., Xn iid con varianza finita σ2 , entonces , si En efecto, una aplicación de la Ley Fuerte de los Grandes Números muestra que si X1,..., Xn iid con varianza finita σ2 , entonces , si Xn= (X1+...+ Xn)/n ,   σ2n = ((X1 - Xn) 2+...+ (Xn - Xn) 2) / n,    se tiene que, para n tendiendo a infinito, σ2n tiende a σ2 . P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Algunas propiedades del valor esperado. a)   El valor esperado es lineal: Si X, Y VA y a,b constantes,   E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) b)  El valor esperado es monótono: Si X, Y VA, X≤ Y, E(X) ≤E(Y) P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

c) Desigualdad de Jensen: Si X VA, g función convexa (por ejemplo, g” no-negativa), entonces   g(E(X) )≤E(g(X)) Si además g es estrictamente convexa (por ejemplo, g” estrictamente positiva salvo en una cantidad finita de puntos) y X no es constante, la desigualdad es estricta. Por ejemplo: si X no es constante, E(X2)>(E(X))2, exp(E(X)) > E(exp X). P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

(el recíproco es falso!) Contraejemplo del recíproco:  d)   Si X, E independientes E(XY)=E(X)E(Y) (el recíproco es falso!) Contraejemplo del recíproco: Si V es una variable simétrica (i.e., V y –V tienen la misma distribución), tal que V2 no es constante y tal que V4 tiene esperanza finita (una N(0,1), por ejemplo), entonces E(V)=E(V3)=0, por lo que si X=V,Y= V2 , entonces Cov(X,Y)=0; pero Cov(X2, Y)=E(V4)- E(V2) 2>0 (la positividad resulta de la desigualdad de Jensen aplicada a la VA no constante V2 y a la función estrictamente convexa g(x)=x2). Resulta entonces que X2, Y no son independientes, lo que a su vez implica que X e Y no son independientes. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Algunas propiedades de la varianza. a)  La varianza es cuadrática: Si X, VA y a,b constantes, Var(aX+b) = a2Var(X)   b) La varianza es positiva: Si X VA, Var(X) ≥ 0, y si Var(X)=0, entonces X es constante. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Var(X+Y)= Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) Var(X+Y)= Var(X) + Var(Y) c)  Si X, Y VA y se define su covarianza por Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), entonces   Var(X+Y)= Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) y en particular, si X, Y independientes   Var(X+Y)= Var(X) + Var(Y) (el recíproco es falso!) P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

d) (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Si X, Y VA, |Cov(X,Y) |≤(Var(X)Var(Y))(1/2) y la igualdad vale si y sólo si X e Y están relacionadas linealmente (e.g., Y=aX+b para a, b constantes).   P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Algunos cálculos de varianza: En una Bin(n,p), Var(X)=np(1-p) (S X es Bin(n,p), como X es la suma de n variables iid Ber(p) de varianza p(1-p), por la propiedad c) la de X es np(1-p)). b) Si X Hipergeométrica de parámetros n, N, D, Var(X)= np(1-p)-{n(n-1)D/[(N-1)N]}. Las n variables que descomponen a X ya no son independientes , aunque si equidistribuídas (idénticamente distribuídas), y es fácil verificar que cualquier par de ellas tiene covarianza –D/[(N-1)N], luego, por la propiedad c), resulta que Var(X)=np(1-p)-{n(n-1)D/[(N-1)N]}. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

c) En una Poisson de parámetro , Var(X)=  d) En una N(μ,σ2), P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Break: Gonzalo Pérez Iribarren (Carmelo- Montevideo 1998). P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Si se define el coeficiente de correlación lineal por ρ(X,Y)= Cov(X,Y) (Var(X)Var(Y))(-1/2) entonces  ● ρ(X,Y) está entre –1 y 1,  ·  ρ(X,Y) vale –1 o 1 si y sólo si hay una relación lineal entre X e Y  ·  Si X eY son independientes, entonces ρ(X,Y)=0 (el recíproco es falso!) P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Observaciones a partir de las propiedades de esperanza y varianza. a) Si X1,..., Xn iid con esperanza μ y varianza finita σ2 , entonces , si Xn = (X1+...+ Xn) / n,   Se tiene que:  E(Xn ) = μ, Var(Xn ) = σ2/n. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera

Observaciones a partir de las propiedades de esperanza y varianza. b) Si X VA con varianza positiva y finita y   Z=(X-E(X))( Var(X)(-1/2) ), entonces  E(Z)=0, Var(Z)=1  (Pero, obviamente Z puede no tener nada que ver con la N(0,1)!!) Esto nos deja en la puerta del Teorema Central del Límite. P Y E 2012 Clase 12 Gonzalo Perera