Identificación de Sistemas Modelos parametricos y no parametricos

Contenido Modelos parametricos y no parametricos Modelos parametricos Estructura de los modelos LTI Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung) Modelos no parametricos Respuesta al impulso Respuesta en frecuencia

Modelos parametricos y no parametricos

El problema de la identificacion El problema de la identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre secuencias de entrada y las secuencias de salida. En general t = 1,...N En el caso de un sistema dinámico, el termino φ(t) contendría la información de las entradas y salidas anteriores a t

El problema de la identificacion Entonces, el problema matemático que se formula es la construcción de una función En general se busca una función g que sea parametrizable A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo

Ejemplo de estructura En el caso de una estructura ARX la correspondencia con la formulación general seria

Ejemplo de estructura Por ejemplo, en el caso de una estructura de modelo simple como el ARX de primer orden:

Clasificacion de los modelos De acuerdo a la estructura (al numero de parametros) los modelos se clasifican en, Modelos parametricos Modelos no parametricos

Modelos paramétricos A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros AR, ARX, ARMAX, . . .

Modelos no paramétricos El modelo no puede representarse con un número finito de parámetros Respuesta al impulso, respuesta en frecuencia

t Y U Proceso Modelo Modelos parametricos

Los modelos paramétricos Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros relacionan las señales de interés del sistema: entradas, salidas, y perturbaciones Y U Modelo

Los modelos paramétricos En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera Regresiones lineales Regresiones no lineales Modelos conceptuales “fisicos” Modelos dinámicos Fuzzy o con redes neuronales, Y U Modelo

Estructura de los modelos LTI

Estructura de los modelos Los modelos paramétricos se describen en el dominio discreto, puesto que los datos que sirven de base para la identificación se obtienen por muestreo. ZN = {u(1), y(1), u(2), y(2), ..., u(N), y(N)}

Estructura de los modelos Los modelos LTI pueden expresarse como una ecuación en diferencias finitas

Estructura de los modelos en terminos del operador de retardo retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida.

Funcion de transferencia La relacion de entrada-salida se puede representar en terminos del operador de retardo como una “Funcion de transferencia”

Sistema causal Sistema causal Un sistema es causal si la respuesta del sistema en un instante t depende sólo de la entrada en ese instante y de instantes anteriores.

Sistema causal Sistema causal Se dice que la funcion de transferencia es propia Es decir, el sistema es realizable

Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung)

Los modelos paramétricos estándar A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo En la identificacion de sistemas se recurre a modelos estándar, cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente AR, ARX, ARMAX, . . .

Los modelos paramétricos estándar A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo Al orden del modelo se le denomina complejidad del modelo ARX de segundo orden

Los modelos paramétricos estándar Los modelos encontrados son modelos LTI, representados por relaciones entre polinomios,

Presencia de perturbaciones La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.

Presencia de perturbaciones La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.

Presencia de perturbaciones Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones, Y U Proceso perturbaciones ruido a la entrada del sistema ruido que entra en alguna parte dentro del sistema ruido a la salida del sistema entradas exógenas al sistema

Sistema generador de datos Con el fin de simplificar la representacion se considera que todas las perturbaciones entran en la salida

Caracterización de las perturbaciones Una simple aproximación de v(t) podría ser donde e(t) es un proceso “ruido blanco”

Sistema generador de datos

Sistema generador de datos G(q) modela la parte determinista. H(q) modela la parte estocástica.

Sistema generador de datos Observaciones: v(t), es un proceso estocástico. Pero las perturbaciones que observamos son realizaciones del proceso estocástico En los métodos de estimación de parametros discretos los errores de modelización se incluyen en v(t)

Respuesta impulsiva y el modelo de ruido Un modelo LTI puede ser especificado por : la funcion densidad de probabilidad de e(t)

Familias de modelos (Ljung) Es posible agrupar los modelos en dos bloques: Modelos en que

Modelos en que H(q) = 1 Modelos de media ajustada, MA modelos de respuesta impulso finita (FIR)

Modelos en que H(q) = 1 Modelos del error en la salida, OE.

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos con variables exógenas, ARX

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX G y H tienen el mismo denominador

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos Box-Jenkins, BJ y Una propiedad particular de esta estructura es que G y H no tienen parámetros comunes.

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos ARARX Modelos ARARMAX

Estructura PEM Todas estas familias de modelos se puede representar por Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

Estructura PEM Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

Ejercicio Escriba un modelo de segundo orden con un retardo para cada uno de los modelos propuestos Modelo de media ajustada, MA Modelo del error en la salida, OE Modelo autoregresivo con variable exógena, ARX Modelo autoregresivo de media móvil y variable exógena, ARMAX Modelo Box-Jenkins, BJ Introduzca este modelo en matlab

Modelos no parametricos Y U Proceso Modelo Modelos no parametricos

Respuesta al impulso

Respuesta impulsiva En terminos de la respuesta impulsiva, , la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo Para sistemas estables

Respuesta impulsiva La respuesta impulsiva, puede verse como un operador Para sistemas estables

Respuesta impulsiva La respuesta al impulso del sistema es simplemente la serie que resulta de la division de los polinomios del numerador por el denominador de la funcion de transferencia

Respuesta impulsiva Ejercicio: Dado el sistema LTI Encontrar los coeficientes de la respuesta impulsiva y = [0 0 0.5000 -0.4000 0.0000 -0.0560 0.1072 -0.0125 . . .]

Sistema generador de datos Se supone el sistema generador de datos dado por

q es el operador retardo La presencia de ruido Se supone el sistema generador de datos dado por q es el operador retardo e es un ruido blanco

Respuesta al impulso Consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso de tiempo discreto

Salida para una entrada pulso La salida esta dada por En terminos de la respuesta al impulso

Salida para una entrada pulso Amplitud del pulso La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre

Ejemplos

Ejemplo 1 Encontrar la respuesta al impulso del sistema Ver ident_elg_Ej1.m

Ejemplo 1 Respuesta impulsiva con ruido Respuesta del sistema Respuesta impulsiva sin ruido

Ejemplo 2 Encontrar la respuesta al impulso del sistema:

Respuesta en frecuencia

La respuesta en frecuencia Es posible determinar la respuesta en frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida: Si la entrada tiene energía finita

Ejemplo

Ejemplo 4 Determinar la respuesta en frecuencia del sistema descrito en el ejemplo 1.

Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005. Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002

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