Selección de la estructura y validación del modelo

Presentación del tema: "Selección de la estructura y validación del modelo"— Transcripción de la presentación:

1 Selección de la estructura y validación del modelo

2 CONTENIDO Criterio para la selección del modelo
De la selección de la estructura del modelo La validación de los modelos

3 Criterio para la selección del modelo

4 Selección de la estructura del modelo
La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: ARX, ARMAX, etc.) es un paso crucial en identificación de sistemas. Y dicha elección debe estar basada en el entendimiento del proceso de identificación, conocimiento del sistema a identificar.

5 Selección de la estructura de un modelo LTI estandar
La selección de la estructura a identificar ( para el caso de modelos LTI estandar) trata de la especificación de tres fenómenos diferentes: Selección de la estructura del modelo ARX, ARMX Selección de la complejidad del modelo na, nb, nk Parametrizacion del modelo Modelo lineal o no

6 Criterio para la selección del modelo
Seleccionada la estructura el siguiente paso es la estimacion de parametros El objetivo último del usuario de los métodos de identificación, será el de encontrar un buen modelo a un precio bajo. ¿Pero cuándo un modelo es bueno? ¿Pero cuándo un modelo es caro?

7 ¿Cuándo un modelo es bueno?
La aceptación de un modelo dependerá en ultima instancia de su uso, Requerimientos mas generales estan relacionados con la consistencia: Simulacion o diseño del controlador “Bias” pequeña numero de parametros grande Varianza pequeña numero de parametros pequeño

8 ¿Cuándo un modelo es bueno?
Numero de parametros grande La varianza de los parámetros puede ser grande. Lo que es peor, algunos de los parámetros no proporcionan información sobre el sistema, sólo se utilizan para generar algunas características de la salida correspondientes a la realización específica del ruido. En otras palabras, modelos de mayor complejidad ofrecen la ventaja de que el ajuste de los datos será mejor (residuos pequeños). Sin embargo, la varianza de los parámetros puede ser grande. Lo que es peor, puede parecer que algunos de los parámetros dependan de la realización específica del ruido Este efecto se denomina overfitting y significa que algunos de los parámetros no proporcionan información sobre el sistema, sólo se utilizan para generar algunas características de la salida correspondientes a la realización específica del ruido. Estos parámetros se cambian significativamente al repetir el experimento con una realización diferente del ruido. Estos parámetros se cambian significativamente al repetir el experimento con una realización diferente del ruido. Este efecto se denomina overfitting

9 ¿Cuándo un modelo es bueno?
Numero de parametros pequeño La varianza de los parámetros es pequeña. El ajuste de los datos es malo En otras palabras, modelos de mayor complejidad ofrecen la ventaja de que el ajuste de los datos será mejor (residuos pequeños). Sin embargo, la varianza de los parámetros puede ser grande. Lo que es peor, puede parecer que algunos de los parámetros dependan de la realización específica del ruido Este efecto se denomina overfitting y significa que algunos de los parámetros no proporcionan información sobre el sistema, sólo se utilizan para generar algunas características de la salida correspondientes a la realización específica del ruido. Estos parámetros se cambian significativamente al repetir el experimento con una realización diferente del ruido.

10 ¿Cuándo un modelo es caro?
El precio asociado con la identificación del modelo. El precio asociado con la aplicación del modelo Esfuerzo asociado a la identificacion del modelo En tiempo real el orden del modelo esta limitado por la velocidad computacional

11 De la selección de la estructura del modelo

12 Eleccion de la estructura
Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.

13 Eleccion de la estructura
El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real Puede ser necesario ensayar con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma estructura hasta encontrar un modelo satisfactorio.

14 Eleccion de la complejidad
Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios es decir na, nb, nc, nd, nf y nk. Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes ai, bi, ci, di y fi

15 Eleccion de la estructura
Ejemplo: Supóngase el sistema ¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

16 Eleccion de la estructura: Ejemplo
El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.

17 Eleccion de la estructura: Ejemplo
El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

18 Criterios para evaluar la selección de la estructura del modelo
Cuatro fuentes de información, Consideraciones a priori, antes de realizar experimentos. Análisis de los datos obtenidos en experimentos preliminares Comparación a posteriori de diferentes estructuras de modelos identificados Validación del modelo Ljung (1987)

19 Consideraciones a priori
Basados en el conocimiento previo del proceso podría obtenerse información clara acerca Este conocimiento ofrece también información sobre el número esperado de parámetros n del modelo Del orden (mínimo) del modelo, Carácter de la perturbación del ruido en los datos Regla empirica:

20 Análisis de experimentos preliminares
Una vez estan disponibles los datos obtenidos en los experimentos preliminares Puede obtenerse información acerca del orden del modelo Identificación no paramétrica Picos de resonancia y anti-resonancia Cambios en la fase también pueden proporcionar información sobre la presencia de polos y ceros. El analisis de los datos incluye:

21 Comparación de la estructura de modelos identificados
Una vez identificados un numero de modelos es posible comparar diferentes estructuras Una manera podria ser comparar el valor de la función de costo para los diferentes modelos con los datos de estimacion

22 Comparación de los modelos
n = na+nb Prueba del orden del modelo para una estructura ARX

23 Comparación de la estructura de los modelos identificados
 Otra manera: Evaluar el valor de la función de costo con otros los datos Este mecanismo, denominado validación cruzada

24 Comparación de los modelos
Utilizando validación cruzada n = na+nb Prueba del orden del modelo para una estructura ARX

25 Comparación de la estructura de modelos identificados
Otros dos criterios para la selección del orden del modelo El Criterio de Información de Akaike (AIC). El Criterio del Error de Predicción Final de Akaike (FPE).

26 Comandos relevantes en Matlab
Funciones para la selección de la estructura óptima de un modelo Selección de la estructura del modelo arxstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras ARX. ivstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras OE. selstruc Selección de la estructura con menor función de pérdidas. struc Generación de un conjunto de estructuras.

27 La validación de los modelos

28 La validacion de los modelos
La mayoría de los métodos de validación tratan de determinar, si la respuesta del modelo se ajusta con suficiente exactitud a los datos de entrada-salida obtenidos mediante experimentación Basado en algunos criterios típicos

29 Criterios típicos para seleccionar un modelo
Simulacion del modelo con datos no usados en la estimacion de los parametros Intervalos de fiabilidad de los parámetros Análisis de los residuos Coherencia en el comportamiento de entrada-salida Reducción del modelo por cancelacion de polos y ceros Validación en base a la aplicación del modelo

30 Simulación del modelo Una técnica de validación de modelos:
Simular el modelo con un conjunto de entradas distintas a las utilizadas para identificación, Comparar la respuesta del modelo con la obtenida del sistema real

31 Intervalos de fiabilidad de los parámetros
 Otro método: comparar los parámetros estimados con su desviación estándar Si el intervalo de confianza de un parámetro es muy grande, indica un modelo con orden demasiado alto Se debe considerar la posibilidad de eliminar dicho parámetro.

32 Análisis de los residuos
Se conocen como residuos de un sistema a los errores de predicción siendo la respuesta real del sistema la respuesta estimada por el modelo El error de prediccion debe ser un ruido blanco

33 Análisis de los residuos
Los residuos deben converger a un ruido blanco Dos pruebas: Evaluando la autocorrelacion de los residuos Evaluando la correlacion cruzada

34 Análisis de los residuos
Idealmente, los residuos deben ser independientes de la entrada Si no sucede así, significa que hay componentes en los residuos que proceden de la entrada u(t), lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema.

35 Análisis de residuos para dos modelos
Modelo con un orden adecuado Modelo con un orden inferior

36 Coherencia en el comportamiento de entrada-salida
 Puede ser necesario recurrir a diferentes métodos de identificación y comparar los resultados obtenidos. Por ejemplo, comparando los diagramas de Bode de los modelos obtenidos mediante diferentes metodos identificación paramétrica, por el método de variables instrumentales y por análisis espectral

37 Comparación de la respuesta en frecuencia obtenida mediante dos métodos de identificación distintos

38 Reducción del modelo  Si una reducción en el orden del modelo no produce alteraciones apreciables en el comportamiento del mismo, entonces el modelo original era innecesariamente complejo. Para modelos LTI, supone la presencia de un polo y un cero (o más pares) que se cancelan

39 Caso de un modelo demasiado complejo
Cancelación de un cero y un polo Diagrama de ceros y polos

40 Validación en base a la aplicación del modelo
En la práctica es imposible determinar si un modelo responde exactamente al comportamiento del sistema real, Es suficiente comprobar que el modelo es capaz de resolver el problema para el cual ha sido hallado

41 Ejemplo

42 Ejemplo Ejemplo: Supóngase el sistema
Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX Validar el modelo

43 Problemas Ver el documento Tema 3_problemes.pdf
De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

44 FUENTES  Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002