Modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención

La estructura matemática del muestreador El muestreador es un dispositivo que convierte una señal analógica en un tren de pulsos de amplitud modulada o en una señal de datos muestreados.

La estructura matemática del muestreador Diagrama a bloques de un muestreador periódico con una duración de muestra finita. La duración del pulso de muestreo es p, y T es la duración del periodo de muestreo. La entrada es la señal continua y la salida es un tren de pulsos de ancho finito.

La estructura matemática del muestreador Otra manera de ver lo anterior es que la entrada está multiplicada por una señal portadora formada por un tren de pulsos periódicos, con amplitud unitaria cada uno.

La estructura matemática del muestreador Dado que el tren de pulsos unitarios es una función periódica con periodo T, puede representarse con una serie de Fourier. Donde es la frecuencia de muestreo

La estructura matemática del muestreador Los coeficientes complejos de Fourier están dados por Dado que para se tiene

La estructura matemática del muestreador De nuevo la señal portadora queda como Y la salida como

La estructura matemática del muestreador La transformada de Fourier de la salida queda como

La estructura matemática del muestreador Ahora observaremos unos hechos importantes de la salida muestreada a partir de su transformada de Fourier La componente de frecuencia que corresponde a n=0 se puede escribir como

La estructura matemática del muestreador La ultima expresión nos dice que los componentes en frecuencia de la señal original siguen presentes a la salida del muestreador. Para n¹0, Cn es una cantidad compleja, que se puede escribir como

La estructura matemática del muestreador Y la magnitud de la salida queda como El espectro de frecuencia de la señal muestreada es la gráfica de los coeficientes de Fourier Cn como función de w, tal como se muestra a continuación.

La estructura matemática del muestreador Se observa que no es una función continua, el espectro está formado por líneas espaciadas una distancia para n=±1, ±2,...

La estructura matemática del muestreador Si el espectro de la función de entrada está limitado en banda como se muestra en (b), entonces el espectro de amplitud de la salida tiene la forma de (c)

La estructura matemática del muestreador El espectro de la función de salida se esquematizó suponiendo que la frecuencia de muestreo es dos veces mayor que la frecuencia contenida en f(t), ; esto es, Si , entonces aparecerá una distorsión en el espectro de frecuencia en la salida como consecuencia de los traslapamientos de los componentes armónicos.

La estructura matemática del muestreador La figura (d) muestra este hecho. Alrededor de cero tiene poco parecido con la señal original. En teoría la señal original se puede obtener de (c) con un filtro pasa-bajas ideal con ancho de banda entre y

La estructura matemática del muestreador TEOREMA DE SHANNON Si una señal no contiene componentes en frecuencia mayores de , está determinada de manera única si la frecuencia de muestreo es mayor que

La estructura matemática del muestreador Ejemplo de una señal mal muestreada

Dispositivos de retención El dispositivo de retención es la forma más sencilla del problema general de reconstrucción de datos. Este proceso puede obtenerse como un proceso de extrapolación. Dado que la señal continua se construye con base en la información contenida sólo instantes de muestreo pasados.

Dispositivos de retención Por ejemplo, la señal original f(t) entre dos instantes de muestreo consecutivos, kT y (k+1)T, debe estimarse con base en los valores de f(kT), f((k-1)T),..., f(0). Uno de los métodos para generar la aproximación deseada se basa en el desarrollo de la serie de Taylor alrededor de kT, y que sería válido hasta (k+1)T.

Dispositivos de retención donde Entre mayor sea el orden de la derivada que se quiera aproximar, mayor será el número de datos que se requieran.

Dispositivos de retención El dispositivo de extrapolación descrito está formado por una serie de retrasos que depende de la exactitud que se quiera tomar. Por otro lado se sabe que el retraso tiene un efecto adverso sobre la estabilidad de los sistemas de control.

Dispositivos de retención Se presenta al retenedor de orden cero (ROC) como el dispositivo que sólo toma en cuenta el primer término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)T Se le denomina extrapolador de orden cero, ya que el polinomio utilizado para efectuar esta función es de grado cero.

Dispositivos de retención El efecto del retenedor de orden cero puede verse como la acción de dos escalones La función de transferencia del ROC se obtiene tomando la transformada de Laplace

Dispositivos de retención El espectro de frecuencias se calcula por

Dispositivos de retención

Dispositivos de retención El el efecto del retenedor más muestreador. La figura (b) muestra una señal acotada en frecuencia y en (c) apreciamos como se generan armónicos por el muestreador y como es la salida del ROC (gráficas azules).

Dispositivos de retención Se presenta al retenedor de primer orden (RPO) como el dispositivo que sólo toma en cuenta los dos primeros término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)T.

Dispositivos de retención La función de transferencia del RPO está determinado por la siguiente expresión

Dispositivos de retención El espectro de frecuencias se calcula por

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Dispositivos de retención Los valores pico del RPO poseen una magnitud mayor que los del ROC, lo cual explica la presencia de componentes tipo rampa en la salida del RPO.

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