Distribución de probabilidad conjunta Área Académica: Licenciatura en Ingeniería Industrial Profesor(a): M. en C. Isidro Jesús González Periodo: Enero – Junio 2015

Distribución de probabilidad conjunta Resumen Los resultados de un experimento pueden ser causa de múltiples variables. En estas situaciones se requiere de tener una función de probabilidad que describa la variación de la probabilidad de ocurrencia con respecto a la variación de estas variables. Esta función de probabilidad tiene en cuenta el efecto de múltiples variables aleatorias se denomina distribución de probabilidad conjunta. Una distribución de probabilidad conjunta puede ser discreta o continua dependiendo del tipo de variables que se describen.

Abstract The results of an experiment can cause multiple variables. In these situations it is required to have a probability function which describes the variation of the probability of occurrence with respect to the variation of these variables. This probability function must into account the effect of multiple random variables is called the joint probability distribution. A joint probability distribution can be discrete or continuous depending on the variables described. Keywords: statistics, discrete variable, continuous variable, joint probability distribution

Introducción La estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que evolucionaron de manera independiente hasta confluir en el siglo XIX: el Cálculo de Probabilidades, que nace en el siglo XVII como teoría matemática de los juegos de azar, y la Estadística, ciencia del estado, que estudia la colección y descripción de datos.

Al final de la presentación el alumno será capaz de describir y utilizar modelos de probabilidad de comportamiento conjunto de diversas variables aleatorias y de estudiar e interpretar los valores esperados de funciones de diversas variables aleatorias, incluidas la covarianza y la correlación como medidas del grado de asociación entre dos variables.

Conceptos básicos Estadística: (Spiegel) estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

Conceptos básicos Estadística descriptiva: conjunto de métodos que se utilizan para organizar, clasificar y presentar la información. Estadística inferencial: métodos que se utilizan para deducir alguna característica de la población con información parcial.

Conceptos básicos Población: conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea tener información. Muestra: subconjunto de esa población (al que sometemos a un verdadero análisis). El número de elementos de una muestra se denomina tamaño.

Conceptos básicos Variable estadística: característica o atributo que se mide en los individuos (seres u objetos) de una población. Ej, años de edad, talla, estado civil, el peso de la ganadería ovina, diámetro de una pieza, etc. Se distinguen dos tipos principales de variables: cuantitativas y cualitativas.

Variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Esta función se llama variable porque puede tomar diferentes valores, y se llama también aleatoria porque los valores que toma son al azar, y es medible porque se puede calcular su probabilidad.

Variable aleatoria Los estadísticos utilizan planes de muestreo ya sea para aceptar o para rechazar lotes de materiales. Suponga que uno de los planes de muestreo implica el muestreo independiente de 10 artículos de un lote de 100 de ellos. Sea X la variable aleatoria definida como el número de artículos que están defectuosos en la muestra de 10. en este caso, la variable aleatoria toma los valores 0, 1,…, 9, 10.

Variable cuantitativa Miden alguna cualidad o atributo “cuantificable” de los individuos. (Valor numérico) Variables discretas: al ser numerables, pueden tomar una serie de valores determinados, pero no los valores intermedios. Por ejemplo, el número de cabezas de ganado de una explotación puede ser 50 ó 51 pero no 50,5.

Media, varianza y desviación estándar (Población de Interés) Parámetros: Media (m) Varianza(s2) Desv. Est. (s) Etc. Datos (Población de Interés) Inferencias Muestreo Estadísticos: Promedio ( X ) Varianza muestral(S2) Desv. Est. muestral(s) Etc. Muestras

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio maestral (S) de un experimento, un número real. X : S → R Ejemplo: Se realiza un experimento en un laboratorio cuyo resultado puede ser positivo o negativo. Construir el espacio muestral y dar una v.a. asociada al experimento. S = {Positivo, Negativo} X ( Positivo ) = 1 X es una variable aleatoria X ( Negativo ) = 0

V. A. DISCRETA Y CONTINUA La distribución de probabilidad de una v.a. es una función que asigna a cada valor posible de dicha v.a. una probabilidad Ejemplo. Experimento en un laboratorio P{X = 1} = P {positivo} Ejemplo. X : “Bacterias de tipo A en una pipeta” P {1000 ≤ X ≤ 1500} = P(A)

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria discreta Función de densidad Dada una v.a. discreta X llamaremos función de densidad de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad puntual a cada valor de la v.a. f (x) = P (X = x) f (x) ≥ 0 para todo real x Σx f (x) = 1

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria discreta Función de distribución (acumulada) Dada X una v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a la función que indica su probabilidad acumulada. F (x) = P(X ≤ x) = Σ i ≤ x f (xi)

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria discreta Función de densidad conjunta f (x, y) ≥ 0 Σ x Σ y f (x, y) = 1 P(X = x, Y= y) = f (x, y)

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria discreta Función de densidad marginal f x (x) = P(X = x) = Σ y f (x, y) f y (y) = P(Y = y) = Σ x f (x, y)

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria discreta Valor esperado, varianza, covarianza y correlación μ = E (x) = Σx x* f (x) V (X) = E (x2) – (E (x ))2 = Σ x2 f (x) - (E (x ))2 Cov (X, Y) = E (XY) – E (X) E (Y) = Σx Σy xy f (x, y) - E (X) E (Y)

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria continua Función de densidad Una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1], la suma de todas las probabilidades es 1. f (x) ≥ 0 para todo real de x

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria continua Función de distribución (acumulada) La función de distribución nos da la probabilidad acumulada desde -∞ hasta el valor que se tiene en consideración gráficamente la función de distribución es el área limitada por la función de densidad y el eje de abscisas entre -∞ y x

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria continua Función de densidad conjunta f (x, y) ≥ 0 .

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria continua Función de densidad marginal Función de densidad marginal de X como: Función de densidad marginal de Y como:

V. A. DISCRETA Y CONTINUA Variable aleatoria continua Valor esperado, varianza, covarianza y correlación

Estadísticos y sus distribuciones Un parámetro es una caracterización numérica de la distribución de la población de manera que describe, parcial o completamente, la función de densidad de probabilidad de la característica de interés. Un estadístico es cualquier cantidad cuyo valor puede ser calculado a partir de datos muestrales, un estadístico es una variable aleatoria, se utiliza una letra minúscula para representar el valor calculado. Un estadístico que se usa para estimar el parámetro de la población, se llama estimador del parámetro.

Estadísticos y sus distribuciones MEDIA ARITMÉTICA Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales:

Estadísticos y sus distribuciones Varianza: Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media).

Estadísticos y sus distribuciones Desviación estándar: La desviación típica o estándar (raíz cuadrada de la varianza) es una medida de la dispersión de los datos, cuanto mayor sea la dispersión mayor es la desviación estándar. Así, si no hubiera ninguna variación en los datos, es decir, si todos fueran iguales, entonces la desviación estándar sería cero.

Estadísticos y sus distribuciones Distribuciones Discretas Distribución Bernoulli Distribución Discreta Uniforme Distribución Binomial Distribución Geométrica Distribución Poisson

Distribuciones Continuas Distribución Beta Distribución Pearson tipo V Distribución Pearson tipo VI Distribución Log-logistic Distribución Johnson SU Distribución Triangular Distribución Uniforme Distribución Exponencial Distribución Gamma Distribución Weibull Distribución Normal Distribución Lognormal

Referencias Quevedo Urías, H., & Pérez Salvador, B. (2008). Estadística para Ingeniería y Ciencias. México, D.F. : Grupo Editorial Patria. Walpole, R., Myers, R., Myers, S., & Ye, K. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias (Octava ed.). México: Pearson Prentice Hall.