Movimiento en un Plano

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de coordenadas ( x1 , y1 ) en el instante de tiempo t1. Sea r2 el vector de posición final que ubica a la partícula en el plano cartesiano cuando está en el punto de coordenadas ( x2 , y2 ) en el instante de tiempo t2. Se define el vector A o cambio de posición como aquél que va desde la posición inicial de coordenadas ( x1 , y1 ) hasta la posición final de coordenadas ( x2 , y2 ). Veámoslos gráficamente:

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Trayectoria del cuerpo y + (x2 , y2) en t2 y2 A D y = y2 – y1 (x1 , y1) en t1 r 2 y1 r 1 x1 D x = x2 – x1 x2 x +

A = |A|= √ (Dx)2 + (Dy)2 = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Donde: D x = x2 – x1 es la componente del vector A en el eje x D y = y2 – y1 es la componente del vector A en el eje y A = |A|= √ (Dx)2 + (Dy)2 = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 es la magnitud del vector A, la cual representa la distancia entre la posición inicial y la final, no así la distancia recorrida por el cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió la partícula es diferente. Analizando a los vectores que tenemos en la figura, observamos que el vector r2 es la resultante de sumar los vectores r1 y A; esto es: r1 + A = r2

Despejando al vector A (siguiendo las reglas del álgebra) tenemos que: A = r2 - r1 definiendo a A como D r , tenemos que: D r = r2 - r1 lo cual en expresiones verbales representa: Cambio de posición o Desplazamiento = Posición final - Posición inicial

Características del vector desplazamiento Como el desplazamiento es un vector, tiene: Magnitud, unidad, metros dirección Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde lo medimos (ejes horizontales). Por ejemplo: Al Sur del Este (al S del E) Al Norte del Oeste (al N del O)

I. MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Movimiento de Proyectiles El lanzamiento de proyectiles o movimiento parabólico se refiere a aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones: Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al objeto lanzado, ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras formas. y + x + Sin resistencia del aire y + x + Con resistencia del aire

Movimiento de Proyectiles Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal manera que la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la altura. Que el lanzamiento no sea de muy largo alcance, de tal manera que la superficie de la tierra pueda considerarse plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma formas de elipses.

Movimiento de Proyectiles Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos (entre muchos otros) de cuerpos que describen una trayectoria parabólica: Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat. Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae al suelo. La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación. El primer ejemplo es de los considerados casos generales ya que la pelota es golpeada desde una cierta altura, saliendo con un ángulo de elevación diferente de cero y cae en tierra. El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro horizontal, donde el objeto sale con un ángulo de cero grados con respecto a la horizontal. El tercer ejemplo también es considerado un caso especial (Blancos y Alcances) y es cuando un objeto sale de un nivel (por ej. suelo) y llega a ese mismo nivel (suelo).

Movimiento de Proyectiles Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos movimientos: Uno horizontal y uniforme y el otro Vertical y uniformemente acelerado, ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el movimiento resultante. Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre sí. La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal. Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:

Movimiento de Proyectiles Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y sin rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura: D t D t D t D t D t D x D x D x D x D x Movimiento horizontal: si la mesa es infinita y no presenta resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la misma velocidad inicial con la que fue lanzado. La velocidad en el eje x será siempre la misma v0x = vx = constante. El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo.

Movimiento de Proyectiles Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota desde el borde de la mesa y analicemos el movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente figura: D y t Movimiento vertical: es uniformemente acelerado. En los mismos intervalos de tiempo, el cuerpo recorre cada vez mayor distancia, es decir, la magnitud de su velocidad vertical vy se va incrementando. Se considera que cuando va en el aire, no hay oposición al objeto que se deja caer (caída libre, sin resistencia de ninguna índole)

Movimiento de Proyectiles x D x D x D x D x D y t D y t D y t D y t D y t

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo relativo a la descomposición de vectores en sus componentes rectangulares: V0 v0y = │V0│۰sen θ0 θ0 v0x = │V0│cos θ0 Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes, teniendo en consecuencia uno horizontal y uniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, siendo las mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por lo que se agrega a las velocidades el subíndice x o y dependiendo si la velocidad es horizontal o vertical respectivamente.

Ejercicio Una pelota se lanza con una rapidez de 20 m/s, en una dirección que forma 60º con la horizontal. Determinar la velocidad en componentes rectangulares.

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme) x = x0 + v0x t v0x = vx = constante MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado) y = y0 + v0y t - ½ g t2 y = y0 + ½ ( vy + v0y ) t vy = v0y – g t vy2 = v0y2 –2 g ( y – y0 ) MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE y = y0 + x tan θ0 – g x 2 ⁄ ( v0 cos θ0 ) 2 Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov. vertical y realizando operaciones algebraicas. Importante: Se considera dirección positiva hacia Arriba, es decir, se debe reemplazar g = 9.81 m/s2. Porque el signo negativo ya está incluido.

Ejercicio Un proyectil fue lanzado con un ángulo de 60º con la horizontal y con una rapidez de 20m/s. Calcule para un tiempo de 2 segundos después del lanzamiento. Velocidad del proyectil El alcance que experimenta el proyectil El tiempo en llegar al punto más alto

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: Lanzamiento Horizontal Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde una cierta altura. Debido a esto: El ángulo inicial de salida es de cero grados. θ0 = 0 La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier instante de tiempo. V0 =│V0│= v0x = vx La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero. v0y = 0

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: Ecuaciones para Tiro Horizontal Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento generales se reducen a: x = v0 t y = - ½ g t2 y = ½ ( vy ) t vy = – g t vy2 = –2 g y El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra despejando el tiempo de la segunda ecuación t = (- 2y / g)½ donde y < 0 │ V0 │ = v0x ; v0y = 0 x + y < 0 y -

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a tierra). Debido a lo anterior, tenemos que: v0x = │V0│cos θ0 v0y = │V0│sen θ0 y = y0 = 0 Los aspectos principales a considerar son: Tiempo total de vuelo. Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil. Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido. vx = v0x vy = 0 ymax V0 θ0 Xmax = R

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T ) Se encuentra a partir de la condición y = y0 = 0 y de la primera ecuación general para el movimiento vertical: y = y0 + v0y t - ½ g t2 0 = 0 + v0y t - ½ g t2 Despejando el tiempo t = 2 v0y ⁄ g O bien t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R ) Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo total. Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal con x0= 0 x = v0x tT x = v0x (2 v0y ⁄ g) Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicial x = v0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ⁄ g) x = v02 (2cos θ0 sen θ0 ) ⁄ g Usando la identidad trigonométrica 2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0 Se tiene que el alcance máximo viene dado por: x = (v02 sen 2 θ0 ) ⁄ g

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: ALTURA MÁXIMA ( y = ymax. ) Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es cero. vy = 0 Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima: La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta hacerse nula. La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola. Sustituyendo la condición anterior en la ecuación: vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 ) v0y2 = 2 g ( ymax ) ymax = v0y2 ⁄ 2 g ymax = (v0 cos θ0)2 ⁄ 2 g

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: BLANCOS Y ALCANCES: Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que todas ellas dependen de: La velocidad inicial V0 El ángulo de disparo θ0 El valor de la gravedad g En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad inicial V0 y variamos el ángulo de disparo θ0 tendremos que para mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer. Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura alcanzará. Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: t```> t``> t` t``` q > q > q ``` `` ` ` t`` misma V q ``` q `` t` q ` x +

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión: x = (V02 sen 2 θ0 ) ⁄ g y puesto que V0 y g son constantes, entonces el alcance depende de θ0 , además considerando que en blancos y alcances, el ángulo varía de: 00 < θ < 900 la función seno tiene el siguiente comportamiento: 0 ≤ sen θ0 ≤ 1 siendo su máximo valor la unidad. Consecuentemente de la expresión para el alcance máximo tenemos que:

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: sen 2 θ0 = 1 resolviendo para el ángulo: 2 θ0 = sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ sen-1 ( 1 ) θ0 = ½ (900 ) θ0 = 450 Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: A partir de los 450 450 + 400 = 850 subo 400 450 - 400 = 50 bajo 400 450 + 200 = 650 subo 200 450 - 200 = 250 bajo 200 mismo alcance y + mismo alcance 850 450 250 650 50 Misma V0 x +

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: NOTA.- No debe de olvidarse que las ecuaciones encontradas para tiro horizontal y blancos y alcances, son exclusivamente para casos especiales, no se pueden aplicar indistintamente a cualquier problema, en todo caso, al resolver un problema se deben de aplicar las ecuaciones generales de tiro parabólico ya que las de casos especiales se dedujeron de ellas al considerar ciertas condiciones iniciales y finales como son: v0y = 0 para tiro horizontal y = y0 = 0 para alcance máximo vy = 0 para altura máxima.