ANUALIDADES DÍA 08 * 1º BAD CS

Capitalización ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN En un fondo, además de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso hará que el capital final se verá bastante aumentado. Año Capital final 0 Co 1 Co + Co.i = Co (1+ i) 2 [Co + Co (1 + i)] + [Co + Co (1 + i)].i = =Co +Co(1+i) + Co.i + Co.i. (1 + i) = =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)+Co(1+i)2 3 [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2] + [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2].i = =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i)+ Co(1+i) .(1+i) = =Co(1+i) +Co(1+i)2 + Co(1+i)3 Nota: Donde pone i se debe leer r/100

… ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN Vemos que es una progresión geométrica de razón (1 + i) y cuyo primer término vale Co. (1 + i). an. r - a1 En una p.g. la suma de todos los términos vale S = ---------------- r – 1 donde el número de términos, n, es el tiempo, t, en años transcurrido. Al cabo de n años tendremos un capital final de: t t+1 Co.(1+ i).(1+ i) - Co.(1 + i) Co.(1+i) - Co.(1+i) Cf = ---------------------------------------- = ------------------------------------------- (1 + i) – 1 i t +1 Co . [ (1+ r/100) - (1 + r/100) ] Cf = ----------------------------------------------- r/100 Fórmula empleada en fondo de pensiones y similares.

CAPITALIZACIÓN Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. Año Ingreso Capital Intereses Capital final 1 5.000 5.000 500 5.500 2 5.000 10.500 1.050 11.550 3 5.000 16.550 1.655 18.205 4 5.000 23.205 2.320,5 25.525,5 5 5.000 30.525,5 3.052,55 33.578,05 6 5.000 38.578,05 3.857,81 42.436,86 7 5.000 47.436,86 4.743,69 52.180,55 Hemos invertido 35.000 € y obtenido más de 52.000 €

EJEMPLO 1 CAPITALIZACIÓN Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ----------------------------------- i 7+1 5000 [ (1+ 0,1) - (1+ 0,1) ] Cf = -------------------------------------------- 0,1 5000 [ 2,143588 - 1,1) ] Cf = -------------------------------------- = 5000 x 10,435888 = 52.179,44

EJEMPLO 2 CAPITALIZACIÓN Dentro de 5 años queremos tener un capital de 100.000 €. Para ello ingresamos Iuna cantidad fija todos los trimestres en un banco que nos ofrece un 4,8 % anual de intereses. ¿Qué cantidad aportar ingresar trimestralmente?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 4,8 / 400 = 0,012 i y que t = 5.4 = 20 trimestres 20+1 Co [ (1+ 0,012) - (1+ 0,012) ] 100.000 = ------------------------------------------------- 0,012 1200 = Co.(1,284667 – 1,012 ] Co = 1200 / 0,272667 = 4401 € Habremos aportado al banco 4401.20 = 88.020 € para obtener 100.000 €

EJEMPLO 3 CAPITALIZACIÓN Todos los meses podemos aportar 100 € a un fondo de pensiones que tenemos a un interés del 3,6 % anual. ¿Qué tiempo debemos estar, suponiendo que no varíen las condiciones, para tener un capital de 100.000 €?. Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 3,6 / 1200 = 0,003 i y que t vendrá en meses. 100 [ (1+ 0,003) - (1+ 0,003) ] 100.000 = ------------------------------------------------- 0,003 t+1 t+1 300 = 100.(1,003 – 1,003 ]  3 + 1,003 = 1,003 Tomando logaritmos: log 4,003 = ( t+1).log 1,003 t+1 = log 4,003 / log 1,003 = 463 meses  t = 37 años y 7 meses

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados se tiene en cuenta que: 1.- Cada pago salda los intereses que produce la deuda en ese periodo y amortiza parte de la misma. 2.- El último pago salda los intereses que produce la deuda en el último periodo y amortiza lo que falta de la misma. 3.- Lo habitual es que la cantidad a pagar en cada periodo sea la misma. De esa cantidad, al principio se emplea la mayoría para cubrir los intereses, descendiendo progresivamente dicho porcentaje a favor de amortizar la deuda. 4.- Para que sea viable un préstamo, el pago de cada periodo debe cubrir, al menos, el importe de los intereses. 5.- Si el deudor se declara insolvente por ley no puede reclamar los intereses que haya abonado, pero sí la cantidad amortizada.

AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de 5.000 € que nos dejan a un interés fijo del 10% anual. Si podemos devolver 1.000 € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente 1 5.000 500 1.000 500 4.500 2 4.500 450 1.000 550 3.950 3 3.950 395 1.000 605 3.345 4 3.345 334,5 1.000 665,5 2.679,5 5 2.679,5 267,95 1.000 732,05 1.947,45 6 1.947,45 194,75 1.000 805,25 1.142,20 7 1.142,20 114,20 1.000 885,80 256,40 8 256,40 25,65 282 282 0

AMORTIZACIÓN Pedimos un préstamo personal de 3.000 € que nos dejan al 25% anual. Si podemos pagar ( amortizar ) 1.000 € anuales, ¿cuántos años pasarán hasta amortizar toda la deuda contraída?. Año Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente 1 3.000 750 1.000 250 2.750 2 2.750 687,5 1.000 312,5 2.437,5 3 2.437,5 609,4 1.000 390,6 2.046,9 4 2.046,9 511,72 1.000 488,28 1.558,62 5 1.558,62 389,65 1.000 610,35 948,27 6 948,27 237,07 1.000 762,93 185,34 7 185,34 46,34 231,68 185,34 0 Nótese que la cantidad pagada es más del doble que el préstamo inicial.

Anualidades de amortización Si pedimos un crédito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido más los intereses. Para ello suponemos que podemos devolver todos los años un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contraída. Al comienzo debemos D Al año debemos D +D.i - A = D.(1+i) - A A los dos años debemos [D.(1+i) - A] + [D.(1+i) - A].i - A = =D.(1+i).(1+i) - A(1+i) – A = =D.(1+i)2 - A(1+i) – A

… ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN A los tres años debemos [D.(1+ i)2 - A(1+i) – A] + [D.(1+i)2 - A(1+i) – A].i - A = = D.(1+i)2. (1+i) - A(1+i).(1+i) - A(1+i) - A = = D.(1+i)3 - A(1+i)2 - A(1+i) - A Al cabo de “t” años habremos devuelto todo el capital prestado más los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego: t t-1 t-2 D.(1+i) - A(1+i) - A(1+i) - ....... - A = 0 t t-1 t-2 D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A En la ecuación anterior la parte de derecha es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+r) y cuyo primer término vale A an.r - a1 En una p.g. la suma de todos los términos vale S = ---------------- r - 1

… ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN Teníamos: t t-1 t-2 D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A t t t A.(1+i) - A A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- = ---------------------- (1+i) - 1 i Que es la fórmula a emplear en las anualidades de amortización, como por ejemplo al pedir un crédito hipotecario, donde todos los años aportamos una cantidad fija (aunque normalmente esté dividida en letras o pagarés mensuales), A. O sea que si el pago es anual, i = r/100 Si el pago es mensual, i = r/1200 , t = número de meses y A es la mensualidad que debemos pagar. Evidentemente cuando el rédito es variable hay que recalcular todo. Importante: Para hallar la mensualidad a pagar, no vale dividir la anualidad entre 12. Hay que trabajar con i = r / 1200.

EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años. t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 i 20 20 A [ (1+ 0,06) - 1 ] 200000.(1+ 0,06) = ---------------------------- 0,06 200000. 3,2071 = A [3,2071 – 1 ] / 0,06 641427 = A.36,5856  A = 641427 / 36,5856 = 17.436,91 € En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: 17436,91x20 = 348.738 € Nota: Habríamos pagado menos empleando mensualidades.

EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años (240 meses). t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200 i 240 240 A [ (1+ 0,005) - 1 ] 200000.(1+ 0,005) = ---------------------------- 0,005 200000. 3,3102 = A [3,3102 – 1 ] / 0,005 662040,89 = A . 462,0409  A = 662040,89 / 462,0409 = 1431,72 € En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: 1431,72 x 12 x 20 = 343 613 € Nota: Habríamos unos 5.000 € menos que por anualidades.

EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD Necesitamos urgentemente un préstamo personal de 30.000 €, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=30000, A= 1000 y i = 24/1200 i t 1000 [ (1+ 0,02) - 1 ] 30000.(1+ 0,02) = ---------------------------------- 0,02 30000. 1,02t . 0,02 = 1000 [1,02t – 1 ] 600. 1,02t -------------- = 1,02t – 1 1000

… EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD 0,6. 1,02t = 1,02t – 1 1 = 1,02t - 0,6.1,02t 1 = 0,4 . 1,02t 1 ----- = 1,02t  2,5 = 1,02t 0,4 Tomando logaritmos decimales: log 2,5 = t . log 1,02 t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses. Habremos pagado 46.271 € por un préstamo de 30.000 €