31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 1 1

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 Problema nº 1: “El disco cifrado de Odón” Problema nº 2 “Patrones geométricos” Problema nº 3: “La coqueta Pitagorina” Problema nº 4: “Problema CASIO: La pirámide de Topolicán” Problema nº 5: “Carril bici” Problema nº 6: “Evoluciones en el ranking” Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 2 2

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 El disco cifrado de Odón Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 3 3

Problema nº 1: EL DISCO CIFRADO DE ODÓN Lola y sus amigas quieren mandarse por WhatsApp mensajes cifrados para que si alguien los lee no se enteren de lo que se están contando. Cada una de ellas tiene un disco cifrante como el que tenéis en la mesa. Ellas ya han acordado que cada día van a hacer corresponder a la letra A el número del día del mes en el que estén, si es mayor de 27 siguen contando. Así, a la letra A le corresponderá el número XIII los días 13, y el número III los días 3 y 30. Si quieren mandar el mensaje HOLA, el día 13 de Enero, escribirían: XXIXXIVXIII 4 4

El día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma el siguiente mensaje: XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI? Descífralo para saber que le decía Paloma en el mismo. b) En la mañana de hoy, día de la Olimpiada Matemática Thales, Lola ha vuelto a recibir un mensaje de Paloma: VIVIIIXVIIIVVIIXVIII ¿Qué le dice Paloma en este nuevo mensaje? c) Si quiere contestar al mensaje recibido con la palabra GRACIAS, ¿cómo sería el mensaje cifrado que tendría que mandarle Lola a Paloma? Solución Menú 5 5

Solución: Enunciado Menú El mensaje que el día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma: XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI? Colocamos por tanto la letra A de nuestro disco con el número V. Enunciado Menú 6 6

Solución: Enunciado Menú Mensaje del 5 de Febrero: XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI? Solución: Al colocar el disco coincidiendo el número V con la letra A, nos damos cuenta que: 1) La segunda palabra es la letra A. 2) La tercera palabra coincidirá con LA, ya que la cuarta palabra también termina en A. 3) La primera letra de la primera palabra la podemos despejar de los siguientes números: X=F XX=O XXV=T XXVI=U XXVII=V Si la primera letra es F, la siguiente puede ser F, K, L, M. A continuación W, E. Continuamos y observamos que la palabra no va a poder comenzar por la letra F. 4) Realizamos todas las posibilidades de las letras de la primera palabra en la tabla de la página siguiente. Enunciado Menú 7 7

Solución: Enunciado Menú Mensaje del 5 de Febrero: XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI? Solución: VOY A LA Enunciado Menú 8 8

Solución: Enunciado Menú Mensaje del 5 de Febrero: XXVIIXXIII V XVIV XXXVIXIIIXVIIXXIXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI? Solución: VOY A LA OLIMPIADA, ¿Y TÚ? Análogamente con las siguientes palabras: Enunciado Menú 9 9

Solución: Enunciado Menú b) En la mañana de hoy, día de la Olimpiada Matemática Thales, Lola ha vuelto a recibir un mensaje de Paloma: VIVIIIXVIIIVVIIXVIII ¿Qué le dice Paloma en este nuevo mensaje? c) Si quiere contestar al mensaje recibido con la palabra GRACIAS, ¿cómo sería el mensaje cifrado que tendría que mandarle Lola a Paloma? Enunciado Menú 10 10

Solución: Enunciado Menú Mensaje del 14 de Marzo VIVIIIXVIIIVVIIXVIII Solución: SUERTE Vamos realizando las mismas operaciones en la palabra: Enunciado Menú 11 11

Solución: Enunciado Menú Mensaje del 14 de Marzo GRACIAS XXVXIVXVIXXIIXIVVI Sería fácil escribir la palabra realizando las mismas operaciones con el disco: Enunciado Menú 12 12

Solución: Enunciado Menú Reagrupemos las respuestas: a) El día 5 de Febrero Lola recibió de su amiga Paloma el siguiente mensaje: VOY A LA OLIMPIADA, ¿Y TÚ? (XXVIIXXIII V XVIV XXVIXIIIXVIIXXIXXIIIVVIIIV, ¿III XXVXXVI?) b) En la mañana de hoy 14 de Marzo, día de la Olimpiada Matemática Thales, Lola recibió de Paloma el siguiente mensaje : SUERTE (VIVIIIXVIIIVVIIXVIII) c) Lola contesta al mensaje de Paloma, recibido en el día de hoy, con la palabra: XXVXIVXVIXXIIXIVVI (GRACIAS) HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de hallarlas? Enunciado Menú 13 13

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 Patrones geométricos Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 14

Justifica todas tus respuestas. Problema nº 2: PATRONES GEOMÉTRICOS Javier está muy preocupado con el patrón de desbloqueo de su móvil, el de los nueve puntos. Se trata de unir los puntos que se deseen, acabando siempre en el primero que se elija. Como es un enamorado de la Geometría, le propone a su amigo Jesús que encuentre todos los patrones que formen cuadrados. ¿Cuántos cuadrados distintos pueden formarse? Jairo, un tercer amigo de Javi y Jesús, les dice que sólo con las dos primeras líneas de puntos se pueden formar más triángulos que cuadrados con todos los puntos. ¿Tiene razón Jairo? ¿Cuántos triángulos ha encontrado? Justifica todas tus respuestas. Solución Menú 15

Solución: Comencemos contabilizando los cuadrados Enunciado Menú 16

Solución: Enunciado Menú Ahora contabilicemos los triángulos eliminando una fila En estos momentos hemos superado el número de cuadrados, por lo que Jairo tiene razón. Enunciado Menú 17

Solución: Enunciado Menú Hemos construido nueve triángulos en los que la base está en la fila superior. De la misma manera podemos encontrar otros nueve con la base del triángulo en la fila inferior. Estos son los casos: Enunciado Menú 18

Hemos encontrado la solución 6 cuadrados y 18 triángulos YA TENEMOS LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de encontrarla? Enunciado Menú 19

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 La coqueta Pitagorina Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 20 20

Solución Menú Problema nº3: LA COQUETA PITAGORINA Pitagorina es un poco coqueta y no quiere revelarnos su edad, ni la de su marido (mayor que ella), ni la de su hija Alejandra. Como hemos insistido mucho, ha aceptado darnos una pista: “Si averiguáis los números que faltan en cada uno de los pentágonos del dibujo, sabréis nuestras edades” ¿Cuántos años tiene cada uno de los integrantes de la familia de Pitagorina?. Explica cómo has obtenido sus edades. Solución Menú 21 21

Solución: Menú Enunciado 22 22

Solución: Enunciado Menú Las edades de la familia de Pitagorina son: -- Edad de la coqueta Pitagorina  57 años -- Edad de su esposo  79 años -- Edad de su hija Alejandra  20 años. HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Enunciado Menú 23 23

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 PROBLEMA CASIO La pirámide de Topolicán Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 24

Solución Menú Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos: La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9,72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4,28 m de lado y la altura total del monumento es de 5,25 m. Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante). Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán. Solución Menú 25

Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos: Solución: Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas: Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados dentro del más grande: Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos: Enunciado Menú 26

Solución: Enunciado Solución aritmética Solución geométrica Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones: Solución aritmética Solución geométrica Solución general Enunciado Menú 27

para la vista desde arriba Solución: Solución Aritmética 1/5 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2 Aproximadamente 94,48 m2 para la vista desde arriba 9,72 metros Enunciado Menú 28

Solución: Solución Aritmética 2/5 La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas. 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 29

Solución: Solución Aritmética 3/5 Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1,05 m de alto (5,25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión: Calculamos dicha razón: 9,72 - 4,28 = 5,44 5,44 / 4 = 1,36 Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos… Enunciado Menú 30

Solución: Enunciado Menú Solución Aritmética 4/5 Base Altura Área Rectángulo 1 4,28m 1,05 m 4,494 m2 Rectángulo 2 5,64 m 5,922 m2 Rectángulo 3 7 m 7,35 m2 Rectángulo 4 8,36 m 8,778 m2 Rectángulo 5 9,72 10,206 m2 Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2 Enunciado Menú 31

SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Otra forma de resolución Solución Aritmética 5/5 Área del cuadrado: Área de UNO de los cuatro laterales: 36,75m2 94,48 m2 Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 32

Por lo tanto, área del cuadrado: Solución: Solución Geométrica 1/6 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 · 9,72 = 94,4784 Aproximadamente 94,48 m2 9,72 metros Enunciado Menú 33

Solución: Solución Geométrica 2/6 En la vista lateral, vemos que a la izquierda de la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio? 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 34

Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 3/6 Los trasladamos a otro sitio. Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice… 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 35

Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 4/6 Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un… 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 36

Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 5/6 ¡Un trapecio! 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 37

SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Otra forma de resolución Solución Geométrica 6/6 Calculamos el área del trapecio: 4,28 metros Siendo: BM=Base mayor Bm=Base menor h=Altura   5,25 m   9,72 metros Área del cuadrado: Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 94,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 38

Solución: Enunciado Menú Solución General 1/7 ¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones»? 4,28 metros 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 39

Solución: Enunciado Menú Solución General 2/7 Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones: 4,28 metros   5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 40

Solución: Enunciado Menú Solución General 3/7 Vamos ahora con las áreas de los rectángulos: 4,28 metros Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética. 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 41

Sumamos todos los escalones como progresión aritmética… Solución: Solución General 4/7 Sumamos todos los escalones como progresión aritmética…   4,28 metros   5,25 metros … más escalones…   9,72 metros Enunciado Menú 42

Solución: Enunciado Menú Solución General 5/7 Aplicamos la fórmula…   4,28 metros   5,25 metros … … 9,72 metros Enunciado Menú 43

Por lo tanto, área del cuadrado: Solución: Solución General 6/7 Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2 94,48 m2 9,72 metros Enunciado Menú 44

SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Otra forma de resolución Solución General 7/7 Área del cuadrado: Área de UNO de los cuatro laterales: Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 36,75 m2 94,48 m2 … … SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 45

Solución: Enunciado Menú La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241,48 m2 HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ... … pero ¿habrá más formas de calcularla? Enunciado Menú 46

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 El carril bici Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 47

Solución Menú Problema nº 5: CARRIL BICI En Matelandia se ha puesto en marcha un carril bici con cinco paradas: Albert Einstein, Bisectriz, Cubo, Dodecaedro y Emy Noether. Su trazado es el que puedes ver en la figura. Contesta razonando la respuesta ¿cuántos recorridos distintos pueden hacerse para ir de Albert Einstein a Emy Noether? Has de tener en cuenta que la bici debe ir por los caminos marcados en el circuito y que no se puede recorrer ningún tramo dos veces. Solución Menú 48

Solución: Estamos ante un ejercicio cuyo objetivo es examinar la capacidad de análisis sistemático en la búsqueda de soluciones. El primer paso para su resolución debería ser establecer una notación que nos permita referirnos a cada parada de forma precisa y concisa. Por ejemplo, la primera letra de cada una de ellas: Albert Einstein  A Bisectriz  B Cubo  C Dodecaedro  D Emy Noether  E Estamos ahora en condiciones de explorar las soluciones, lo haremos realizando el recorrido partiendo de A y hasta llegar a E o a un punto sin salida Para encontrar los distintos caminos que existen vamos a realizar un diagrama de árbol. Enunciado Menú 49

Solución: A B C D E E B A D C B E E A A C E B D E A C B D C E E E !!VAMOS A PEDALEAR!! Solución: A B C D E ABCDE E ABCE B A D C B E ABDCE E ABDE A A C E ACBDCE B D E ACBDE A C B D C E ACDBCE E ACDE E ACE Enunciado Menú 50

Solución: RECAPITULANDO Se han encontrado por tanto 9 caminos distintos que nos permiten ir de Albert Einstein (A) a Emy Noether (E) sin pasar dos veces por el mismo tramo. ABCDE ABCE ABDCE ABDE ACBDCE ACBDE ACDBCE ACDE ACE HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de encontrarla? Enunciado Menú 51

31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 Evoluciones en el Ranking Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 52 52

Solución Menú Problema nº6: EVOLUCIONES EN EL RANKING El verano de 2013 fue una fecha importantísima en la evolución del ranking de los dos mejores deportistas españoles. Según se puede observar en estas informaciones gráficas encontradas en distintos medios de comunicación deportivos, la evolución sufrió un gran cambio. ¿En qué momento el actual número 1 superó en el ranking al veterano campeón? Razona la respuesta. Veterano campeón Actual nº 1 Solución Menú 53 53

Solución: Enunciado Menú Representemos las dos funciones en la misma gráfica teniendo en cuenta sus escalas. Las coordenadas de los extremos de las funciones lineales son: (0,6000), (12,0), (0,1500) y (18, 6000). Menú Enunciado 54 54

Solución: Enunciado Menú Representemos las dos funciones en la misma gráfica teniendo en cuenta sus escalas. Las coordenadas de los extremos de las funciones lineales son: (0,6000), (12,0), (0,1500) y (18, 6000). Para facilitar la representación conjunta tomamos como escala en el eje X, el máximo común divisor de las abscisas no nulas: M.C.D.(12, 18) = 6. Y como escala en el eje Y, el de las ordenadas. M.C.D.(6000, 1500) = 1500. Menú Enunciado 55 55

Solución: Enunciado Menú Representemos las dos funciones en la misma gráfica teniendo en cuenta sus escalas. Las coordenadas de los extremos de las funciones lineales son: (0,6000), (12,0), (0,1500) y (18, 6000). Para facilitar la representación conjunta tomamos como escala en el eje X, el máximo común divisor de las abscisas no nulas: M.C.D.(12, 18) = 6. Y como escala en el eje Y, el de las ordenadas. M.C.D.(6000, 1500) = 1500. Menú Enunciado 56 56

Solución: Enunciado Menú Ambas gráficas se cortan en el punto (6,3000). Por tanto, 6 meses después de agosto de 2013 el actual campeón superó al veterano. Menú Enunciado 57 57

EL ACTUAL CAMPEÓN SUPERÓ AL VETERANO EN FEBRERO DE 2014 Solución: EL ACTUAL CAMPEÓN SUPERÓ AL VETERANO EN FEBRERO DE 2014 HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de encontrarla? Enunciado Menú 58 58