Sesión 10: Variable Aleatoria ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN EMPRESARIAL Sesión 10: Variable Aleatoria Dra. Alejandrina Gonzales Ochoa Santa Anita, 26 de Enero de 2015

Variable Aleatoria Cualquier variable cuantitativa cuyo valor numérico sea determinado por un experimento aleatorio y por lo tanto al azar se denomina variable aleatoria. El nombre de la variable se designa como X y cualquiera de sus posibles valores que puede tomar la variable se simboliza por x. Las variables aleatorias pueden ser clasificadas como discretas o continuas: Es discreta si tiene un rango finito o infinito numerable. Es continua si tiene un rango que contiene un intervalo de número reales.

VARIABLE ALEATORIA discreta

Variable aleatoria discreta Sí el conjunto de todos los valores posibles de una variable aleatoria es contable como: 0,1,2,3,4,5,6,................ se dice que la variable aleatoria X es discreta. Distribución de probabilidad: La probabilidad de un resultado específico debe estar siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1. Función de distribución: La función de distribución está definida como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior o igual a x, es decir: F(x) = P(X ≤ x)

Medidas resumen para las distribuciones de probabilidad Media aritmética o valor esperado de una variable aleatoria Se calcula ponderando cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria por su probabilidad asociada. Esta medida de la variable aleatoria X se simboliza por y también recibe el nombre de Valor Esperado, E(X), de la variable aleatoria. Fórmula: Donde: i = 1,2,3,.......m

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X = c donde c es una constante. Entonces E(X) = c Supongamos que c es una constante y X es una variable aleatoria entonces: E(cX) = c E(X) Sean X , Y dos variables aleatorias cualesquiera. Entonces: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Si X, Y son variables aleatorias independientes. Entonces: E(XY) = E(X). E(Y)

Varianza de una variable aleatoria La varianza de una variable aleatoria X discreta se denota por Var(X) o por la letra griega . Se define como:

PROPIEDADES DE LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA  Var(X) 0 cualquiera sea la distribución Si c es una constante. Entonces Var( c ) = 0   Var(X + c) = Var(X) Var (c X) = C2 Var(X) Si X e Y son variables aleatorias independientes. Entonces: Var ( X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Desviación estándar de una variable aleatoria La desviación estándar de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada de la varianza. Se define como:

Ejemplo 1: Una biblioteca que cuenta con un total de 4270 libros, clasifica estos libros según el número de hojas deterioradas. Se define la variable aleatoria como: X: Número de hojas deterioradas encontradas en un libro.

Número de hojas deterioradas Número de libros fi 1394 1 1369 2 803 3 357 4 201 5 71 6 36 7 18 8 9 10 11 12 Total 4270 En la siguiente tabla se presentan las frecuencias encontradas según el número de hojas deterioradas. Realice lo siguiente: Elabore la tabla de distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente contenga exactamente 4 hojas deterioradas. ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente a lo más contenga dos hojas deterioradas? ¿Cuál es la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente tenga entre 4 y 7 hojas deterioradas. Calcule el valor esperado. Calcule la varianza. Calcule la desviación estándar.

Número de hojas deterioradas Solución: Función de distribución 1.Tabla de distribución de probabilidad Número de hojas deterioradas Número de libros fi Probabilidad Puntual P(X = xi) Acumulada P(X ≤ xi) 1394 0.3265 1 1369 0.3206 0.6471 2 803 0.1881 0.8351 3 357 0.0836 0.9187 4 201 0.0471 0.9658 5 71 0.0166 0.9824 6 36 0.0084 0.9909 7 18 0.0042 0.9951 8 9 0.0021 0.9972 0.0012 0.9984 10 0.0007 0.9991 11 0.9998 12 0.0002 1.0000 Total 4270 1.000

Continuando con el ejemplo 1 2. Calcule la Media Aritmética: Realizando operaciones tenemos: Reemplazando valores en la fórmula tenemos: Rango de X (1) P(X = x) (2) Xi.p(X=x) (1)x(2) 0.3265 0.0000 1 0.3206 2 0.1881 0.3761 3 0.0836 0.2508 4 0.0471 0.1883 5 0.0166 0.0831 6 0.0084 0.0506 7 0.0042 0.0295 8 0.0021 0.0169 9 0.0012 0.0105 10 0.0007 0.0070 11 0.0077 12 0.0002 0.0028 1.3440

Continuando con el ejemplo 1: 3. Calcule la Varianza: Reemplazando valores en la fórmula tenemos: Rango de X (1) P(X = x) (2) (3) (4) (4) x (2) 0.3265 -1.3440 1.8064 0.5897 1 0.3206 -0.3440 0.1184 0.0379 2 0.1881 0.6560 0.4303 0.0809 3 0.0836 1.6560 2.7422 0.2293 4 0.0471 2.6560 7.0542 0.3321 5 0.0166 3.6560 13.3661 0.2222 6 0.0084 4.6560 21.6781 0.1828 7 0.0042 5.6560 31.9900 0.1349 8 0.0021 6.6560 44.3020 0.0934 9 0.0012 7.6560 58.6139 0.0686 10 0.0007 8.6560 74.9258 0.0526 11 9.6560 93.2378 0.0655 12 0.0002 10.6560 113.5497 0.0266 2.1165 4. Desviación estándar: